Trekant og pyramide med vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A (0, 0, 0)$ , $B (1, t + 2, 3 t)$ , $C (0, 4, t + 1)$ og $D (t - 3, 8, 1)$ , der $0 \leq t \leq 10$ .

Kalkulator

Bestem arealet av trekanten $A B C$ for $t = 2$ .

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å bestemme $t$ slik at arealet til trekanten $A B C$ blir lik $6$ .

Kalkulator

Bestem $t$ slik at volumet av pyramiden $A B C D$ blir størst mulig.

Fasit

$Areal = 6,5$

$t \approx 1,80 \lor t \approx 7,85 \lor t \approx 9,29$

$t = 7 gir størst volum, V = 18$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ for $t = 2$ :

\vec{A B} = B - A = [1, 4, 6], \vec{A C} = C - A = [0, 4, 3]

Kryssproduktet blir

\vec{A B} \times \vec{A C} = [- 12, - 3, 4]

Arealet av trekanten $A B C$ er halve lengden av dette vektorproduktet:

Areal = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 12)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 4^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{169} = \frac{13}{2}

$Areal = 6,5$

For generell $t$ er

\vec{A B} = [1, t + 2, 3 t], \vec{A C} = [0, 4, t + 1]

\vec{A B} \times \vec{A C} = [t^{2} - 9 t + 2, - (t + 1), 4]

slik at arealfunksjonen blir

Areal (t) = \frac{1}{2} \sqrt{{(t^{2} - 9 t + 2)}^{2} + {(t + 1)}^{2} + 16}

Vi bruker CAS til å løse $Areal (t) = 6$ for $0 \leq t \leq 10$ (se linje 6–7 i utklippet):

CAS-utregning

CAS gir fire løsninger, $t = - 0,93724$ , $t = 1,80031$ , $t = 7,84619$ og $t = 9,29074$ . Kun de tre siste ligger i det gyldige intervallet $[0, 10]$ .

$t \approx 1,80 \lor t \approx 7,85 \lor t \approx 9,29$

Volumet av pyramiden $A B C D$ er

V (t) = \frac{1}{6} | (\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D} |

der $\vec{A D} = [t - 3, 8, 1]$ . CAS gir (linje 8–9)

(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D} = t^{3} - 12 t^{2} + 21 t - 10 = {(t - 1)}^{2} (t - 10)

Siden $0 \leq t \leq 10$ , er ${(t - 1)}^{2} \geq 0$ og $(t - 10) \leq 0$ , så uttrykket er $\leq 0$ på hele intervallet. Volumfunksjonen kan derfor skrives uten absoluttverditegn som

V (t) = \frac{1}{6} (10 - t) {(t - 1)}^{2}

CAS deriverer og faktoriserer (linje 10–11):

V^{'} (t) = - \frac{1}{2} (t - 1) (t - 7)

Dette gir $V^{'} (t) = 0$ for $t = 1$ og $t = 7$ . Vi sammenlikner funksjonsverdien i disse kritiske punktene med verdien i endepunktene $t = 0$ og $t = 10$ (linje 13–16):

$t$	$0$	$1$	$7$	$10$
$V(t)$	$\dfrac{5}{3}$	$0$	$18$	$0$

Størst volum får vi altså for $t = 7$ , med $V (7) = 18$ .

$t = 7 gir størst volum av pyramiden, V = 18$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2018, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Romgeometri, CAS

Trekant og pyramide med vektorer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekant og pyramide med vektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekant og pyramide med vektorer

Trekant og pyramide med vektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer