Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd

Trym og Eira arbeider med oppgaven nedenfor.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

TRYM: Funksjonsuttrykket har ikke et førstegradsledd. Da må det være slik.

TRYM: Ja, i alle fall for alle tredjegradsfunksjoner. Det har jeg lært meg.

For hånd

Løs oppgaven elevene arbeider med.

For hånd

Ta utgangspunkt i dialogen ovenfor. Utforsk og kommenter Trym sin «regel».

Fasit

Topp i $(0, 2)$ og bunn i $(2, - 2)$ .

Det vil alltid være et stasjonært punkt på $y$ -aksen for slike funksjoner.

Løsningsforslag

Jeg tegnet grafen til $f$ i GeoGebra og fant ekstremalpunktene, se $A$ og $B$ i utklippet.

Grafen til f(x) = x³ − 3x² + 2 i GeoGebra med toppunktet A = (0, 2) på y-aksen og bunnpunktet B = (2, −2) markert.

$f$ har toppunkt i $(0, 2)$ og bunnpunkt i $(2, - 2)$ .

Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd har den generelle formen

P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c

Den deriverte $P^{'} (x)$ gir oss den momentane vekstfarten for hver $x$ -verdi. Når den momentane vekstfarten er lik null så verken vokser eller minker funksjonen $⟹$ vi må da befinne oss i et stasjonært punkt.

\begin{matrix} P^{'} (x) & = 3 a x^{2} + 2 b x \\ 0 & = 3 a x^{2} + 2 b x \\ 0 & = (3 a x + 2 b) x \\ 3 a x + 2 b = 0 & \lor x = 0 \\ 3 a x = - 2 b & \lor x = 0 \\ x = \frac{- 2 b}{3 a} & \lor x = 0 \end{matrix}

Vi ser at $x = 0$ alltid vil gi et stasjonært punkt i $(0, P (0))$ for slike tredjegradsfunksjoner. Stasjonære punkter er ikke bare topp- eller bunnpunkter, det kan også være terrassepunkter slik som grafen til $x^{3}$ viser.

Del 2 oppgave 6b. Bruk av glidere til utforskning

Ved å tegne grafen til $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c$ i GeoGebra og justere på glidere for $a, b, c$ så ser det ut til at vi kun får terrassepunkter dersom $b = 0$ . Hvis $b \neq 0$ så ser det ut til at vi får både et toppunkt og et bunnpunkt. Hvis $b > 0$ så er det bunnpunktet som befinner seg på $y$ -aksen og hvis $b < 0$ så er det toppunktet som befinner seg på $y$ -aksen. Det ser også ut til at topp- og bunnpunktet går nærmere hverandre når jeg justerer $b$ slik at den blir nærmere 0.

Vi kan også se at $b = 0$ vil gi et terrassepunkt fra løsningene av $P^{'} (x) = 0$ som vi fant tidligere. Den ene løsningen vil alltid være $x = 0$ . Den andre løsningen, $x = \frac{- 2 b}{3 a}$ , vil også bli null dersom koeffisienten foran andregradsleddet, $b$ , er lik null. Dermed vil på vår toppunktsløsning og bunnpunktsløsning ligge i det samme punktet $⟹$ vi får et terrassepunkt.

Trym sin regel er nesten riktig. Det vil alltid være et topp- eller bunnpunkt på $y$ -aksen dersom tredjegradsfunksjonen mangler førstegradsledd, men har et andregradsledd. Det vil imidlertid alltid være et stasjonært punkt på $y$ -aksen dersom funksjonen mangler førstegradsleddet.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Utforskningen med glidere kan erstattes helt av regningen over. Fra $P^{'} (x) = x (3 a x + 2 b)$ er de stasjonære punktene $x = 0$ og $x = - \frac{2 b}{3 a}$ , og da kan vi drøfte alle tilfellene uten å tegne noe:

$b = 0$ : de to løsningene faller sammen i $x = 0$ . $P^{'} (x) = 3 a x^{2}$ har da samme fortegn på begge sider av $x = 0$ , så punktet er et terrassepunkt.
$b \neq 0$ : to forskjellige stasjonære punkter, og det ene ligger alltid på $y$ -aksen. Er $a > 0$ og $b > 0$ , er $- \frac{2 b}{3 a} < 0$ , altså til venstre for $y$ -aksen. Fortegnslinja for $P^{'} (x) = x (3 a x + 2 b)$ gir da $P^{'} > 0$ , $P^{'} < 0$ , $P^{'} > 0$ fra venstre mot høyre, så $x = - \frac{2 b}{3 a}$ er toppunktet og $x = 0$ er bunnpunktet. For $b < 0$ bytter de to plass, og det er toppunktet som ligger på $y$ -aksen.

Det er også verdt å merke seg at avstanden mellom de to stasjonære punktene er $| \frac{2 b}{3 a} |$ , som går mot null når $b$ nærmer seg 0. Det er akkurat det gliderne viste.

\clearpage

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktige svar, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten argumentere på en presis måte.

Nærmere presiseringer kan komme etter sensorskoleringen.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2023, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Utforskning, Geogebra, CAS, Funksjoner
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd

Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer