Tredjegradsfunksjon med drøfting og gjennomsnittlig vekstfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt funksjonen $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$
b) Finn $f^{'} (x)$ . Tegn fortegnsskjema til $f^{'} (x)$ . Bruk dette til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .
c) Tegn grafen til $f$ .
d) Finn gjennomsnittlig veksthastighet fra $x = 2$ til $x = 3$ både grafisk og ved regning.

Fasit

Se tabell i løsningsforslaget

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ . Toppunkt $(0, 2)$ , bunnpunkt $(2, - 2)$

Se graf i løsningsforslaget

$4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn hver $x$ -verdi i $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ :

f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 = - 1 - 3 + 2 = - 2

f (0) = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} + 2 = 2

f (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 2 = 8 - 12 + 2 = - 2

f (3) = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 2 = 27 - 27 + 2 = 2

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 2$	$2$	$0$	$- 2$	$2$

Vi deriverer:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

Nullpunktene til $f^{'}$ er $x = 0$ og $x = 2$ . Fortegnsskjema:

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

Siden $f^{'}$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x = 0$ , er $(0, f (0)) = (0, 2)$ et toppunkt. Siden $f^{'}$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x = 2$ , er $(2, f (2)) = (2, - 2)$ et bunnpunkt.

Toppunkt: (0,2), Bunnpunkt: (2, - 2)

Vi tegner grafen ved å bruke verditabellen fra a) og topp-/bunnpunktene fra b).

Graf til f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 med toppunkt (0,2) og bunnpunkt (2,-2)

Gjennomsnittlig vekstfart fra $x = 2$ til $x = 3$ er stigningstallet til sekantlinjen gjennom punktene $(2, f (2))$ og $(3, f (3))$ .

Grafisk: Vi tegner sekantlinjen mellom punktene $(2, - 2)$ og $(3,2)$ på grafen og leser av stigningen. Linjen stiger $4$ enheter når $x$ øker med $1$ , altså stigningstall $4$ .

Ved regning:

\frac{f (3) - f (2)}{3 - 2} = \frac{2 - (- 2)}{1} = \frac{4}{1} = 4

Gjennomsnittlig vekstfart = 4

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2009, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Vekstfart

Tredjegradsfunksjon med drøfting og gjennomsnittlig vekstfart

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjon med drøfting og gjennomsnittlig vekstfart

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tredjegradsfunksjon med drøfting og gjennomsnittlig vekstfart

Tredjegradsfunksjon med drøfting og gjennomsnittlig vekstfart

Lov på eksamen

Temaer