Vi deriverer $f(x)=2\sin (2x)-1$ med kjerneregelen:

Ekstremalpunkter finner vi der $f^{\prime }(x)=0$:

Dette gir $2x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+n\pi$, altså

For $x\in ⟨0,2\pi ⟩$ gir dette fire løsninger: $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{3\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}},{\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$.

Vi setter inn i $f$ for å finne funksjonsverdiene:

Siden $\cos (2x)$ (og dermed $f^{\prime }$) skifter fortegn fra pluss til minus ved $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ og $x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$, er dette toppunkter. Tilsvarende skifter $f^{\prime }$ fra minus til pluss ved $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ og $x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$, som dermed er bunnpunkter.

Toppunkt: $({\displaystyle \frac{\pi }{4}},1)$ og $({\displaystyle \frac{5\pi }{4}},1)$. Bunnpunkt: $({\displaystyle \frac{3\pi }{4}},-3)$ og $({\displaystyle \frac{7\pi }{4}},-3)$.

Vi løser $f(x)=0$:

Dette gir

For $x\in ⟨0,2\pi ⟩$ gir dette

Grafen til $f$ starter i $f(0)=2\sin (0)-1=-1$, stiger til toppunktet $({\displaystyle \frac{\pi }{4}},1)$, krysser $x$-aksen ved $x={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$, faller til bunnpunktet $({\displaystyle \frac{3\pi }{4}},-3)$, stiger igjen og krysser $x$-aksen ved $x={\displaystyle \frac{13\pi }{12}}$, når toppunktet $({\displaystyle \frac{5\pi }{4}},1)$, krysser $x$-aksen ved $x={\displaystyle \frac{17\pi }{12}}$, og faller til bunnpunktet $({\displaystyle \frac{7\pi }{4}},-3)$ før den stiger mot $f(2\pi )=-1$ ved intervallgrensen.

Grafen er en sinuskurve med periode $\pi$, amplitude $2$ og likevektslinje $y=-1$, som svinger mellom $y=1$ og $y=-3$.