To sirkler som tangerer hverandre

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To sirkler $S_{1}$ og $S_{2}$ er gitt ved

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 25

S_{2} : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 9

Tegn sirklene i et koordinatsystem når $a = 6$ .

For hvilke verdier av $a$ vil sirklene tangere hverandre?

Fasit

Se figur i løsningsforslag.

$a = \pm 2 eller a = \pm 8$

LøsningsforslagKI-generert

$S_{1} : x^{2} + y^{2} = 25$ er en sirkel med sentrum $(0,0)$ og radius $5$ . $S_{2} : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 9$ er en sirkel med sentrum $(a, 0)$ og radius $3$ .

Når $a = 6$ , har $S_{2}$ sentrum $(6,0)$ og radius $3$ . Avstanden mellom sentrene er $6$ , som ligger mellom $5 - 3 = 2$ og $5 + 3 = 8$ — sirklene skjærer altså hverandre i to punkter (de er ikke tangerende):

Sirklene S_1 og S_2 når a=6

Sentrum i $S_{1}$ er $(0,0)$ med radius $r_{1} = 5$ . Sentrum i $S_{2}$ er $(a, 0)$ med radius $r_{2} = 3$ . Avstanden mellom sentrene er

d = \sqrt{{(a - 0)}^{2} + 0^{2}} = | a |

To sirkler tangerer hverandre når avstanden mellom sentrene er lik summen av radiene (utvendig tangering) eller lik differansen mellom radiene (innvendig tangering, den ene sirkelen ligger inni den andre).

Utvendig tangering:

| a | = r_{1} + r_{2} = 5 + 3 = 8 \Rightarrow a = 8 eller a = - 8

Innvendig tangering:

| a | = r_{1} - r_{2} = 5 - 3 = 2 \Rightarrow a = 2 eller a = - 2

Sirklene tangerer altså hverandre når

a = \pm 2 eller a = \pm 8

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En fullgod besvarelse må ha med alle de 4 løsningene, $a \in {- 8, - 2, 2, 8}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2013, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Geometri, Likninger

To sirkler som tangerer hverandre

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

To sirkler som tangerer hverandre

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

To sirkler som tangerer hverandre

To sirkler som tangerer hverandre

Lov på eksamen

Temaer