Tetraeder og plan med arealsetning i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et koordinatsystem har vi punktene $O(0,0,0)$ , $A(3,0,0)$ , $B(0,4,0)$ og $C(0,0,5)$ .

Tegn punktene i et koordinatsystem. Finn avstanden fra $A$ til $B$ .

Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ , og bruk svaret til å finne volumet av tetraederet $OABC$ .

En arealsetning oppkalt etter Pytagoras sier at:

F^2_{\triangle ABC} = F^2_{\triangle AOC} + F^2_{\triangle BOC} + F^2_{\triangle AOB}

Her betyr $F_{\triangle ABC}$ arealet av trekanten $ABC$ . Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side.

Regn ut de fire arealene, og kontroller at arealsetningen stemmer i dette tilfellet.

Planet $\alpha$ går gjennom punktene $A$ , $B$ og $C$ .

Bestem likningen til planet $\alpha$ .

Et annet plan $\beta$ er gitt ved

\beta:\quad x + y - z = 5

Finn vinkelen mellom planene $\alpha$ og $\beta$ .

Vi lar nå punktet $C$ få koordinatene $(0,0,t)$ . Vi antar at $t \neq 0$ .

Forklar at likningen til planet $\alpha$ da kan skrives på formen

\alpha:\quad \frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{t} = 1

Finn likningen for det planet som $\alpha$ nærmer seg til når $t \to \infty$ . Hva kan du si om dette planet?

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter