Punktene $O(\mathrm{0,0,0})$, $A(\mathrm{3,0,0})$, $B(\mathrm{0,4,0})$ og $C(\mathrm{0,0,5})$ ligger på hver sin akse i koordinatsystemet — $A$ på $x$-aksen, $B$ på $y$-aksen og $C$ på $z$-aksen.

Avstanden fra $A$ til $B$ finner vi med avstandsformelen i rommet:

$\underline{\underline{|\overrightarrow{AB}|=5}}$

Vi finner vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$:

Kryssproduktet regnes ut komponentvis:

Dette er kontrollert i GeoGebra CAS ved at $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n}=0$ og $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{n}=0$ (se sjekk1, sjekk2 i utklippet), som bekrefter at $\overrightarrow{n}=(\mathrm{20,15,12})$ står normalt på begge vektorene.

Volumet av tetraederet $OABC$ finner vi ved formelen

der $\overrightarrow{AO}=O-A=(-3,0,0)$. Da blir

$\underline{\underline{V=10}}$

Arealet av trekant $ABC$ er halve lengden av kryssproduktet fra b):

De tre andre trekantene ligger i koordinatplanene, og kantene $OA$, $OB$, $OC$ står parvis normalt på hverandre (de ligger langs hver sin akse). Da er arealene rett og slett halvparten av produktet av de to katetene:

Vi kontrollerer arealsetningen (se sjekk i utklippet over):

Siden begge sidene gir $\mathrm{192,25}$, stemmer arealsetningen i dette tilfellet.

$\underline{\underline{F_{△ABC}\approx \mathrm{13,9},F_{△AOC}=\mathrm{7,5},F_{△BOC}=10,F_{△AOB}=6}}$

Vektoren $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(20,15,12)$ fra b) står normalt på planet $\alpha$, siden den står normalt på to vektorer i planet. Planlikningen blir da

I GeoGebra CAS-utklippet over er dette kontrollert ved å sette inn $A$, $B$ og $C$ i uttrykket $20x+15y+12z$ (planeA, planeB, planeC) — alle tre gir $60$, så planet går gjennom alle punktene. Deler vi likningen på $60$, ser vi at planet også kan skrives på skjæringsform

som stemmer med at $\alpha$ skjærer aksene i $A(\mathrm{3,0,0})$, $B(\mathrm{0,4,0})$ og $C(\mathrm{0,0,5})$.

$\underline{\underline{\alpha :20x+15y+12z=60}}$

Normalvektoren til $\alpha$ er ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=(20,15,12)$, og normalvektoren til $\beta :x+y-z=5$ er ${\overrightarrow{n}}_{\beta }=(1,1,-1)$.

Vinkelen $v$ mellom planene finner vi via vinkelen mellom normalvektorene:

Dette er regnet ut i GeoGebra CAS (cosv, vinkel i utklippet over). Numerisk gir dette

$\underline{\underline{v\approx \mathrm{61,4}°}}$

Nå er $C=(0,0,t)$ med $t\ne 0$. Vektorene fra $A$ blir

og kryssproduktet er

Denne vektoren er normal til $\alpha$, så planlikningen blir

Siden $t\ne 0$ kan vi dele hele likningen på $12t$:

som var det som skulle vises.

I likningen ${\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{y}{4}}+{\displaystyle \frac{z}{t}}=1$ er $x$, $y$ og $z$ faste for hvert punkt i rommet, mens $t\to \infty$. Da går leddet ${\displaystyle \frac{z}{t}}\to 0$ for enhver fast verdi av $z$, og likningen nærmer seg

Dette er likningen for et plan der $z$ ikke inngår i det hele tatt. Det betyr at planet inneholder alle punkter $(x,y,z)$ der $(x,y)$ ligger på linjen ${\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{y}{4}}=1$ i $xy$-planet — altså linjen gjennom $A(\mathrm{3,0,0})$ og $B(\mathrm{0,4,0})$ — for enhver verdi av $z$.

Geometrisk betyr dette at når $C$ flyttes stadig lenger ut langs $z$-aksen, dreier planet $\alpha$ seg om linjen $AB$ og nærmer seg det vertikale planet gjennom $AB$ som står parallelt med $z$-aksen (og dermed normalt på $xy$-planet).

$\underline{\underline{4x+3y=12}}$