R2 Eksempeloppgave 2008

LK06 5 oppgaver 5 timer

0 av 5 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Eksempeloppgave 2008 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 1 oppgaver
1	Mange derivasjoner og integrasjon	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
2	Drøfting og integrasjon av kubisk sinusfunksjon	—
3	Tetraeder og plan med arealsetning i rommet	—
4	Fallskjermhopp og differensiallikning for fart	—
4	Løsningsfamilier til homogen differensiallikning	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1 : Mange derivasjoner og integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen $\quad f(x) = 2x\cos(3x)$

Deriver funksjonen $\quad f(x) = 3\left(e^{4x}+1\right)^2$

Gitt funksjonen $\quad f(x) = \dfrac{2}{3}x^3 - 4x^2 + x + 2$

Ligger grafen over eller under $x$ -aksen når $x = 1$ ?

Stiger eller synker grafen når $x = 1$ ?

Øker eller minker den momentane veksthastigheten når $x = 1$ ?

Finn summen av den uendelige rekka: $\quad 9 + 0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \cdots$

Bestem integralet $\quad \displaystyle\int \frac{4}{x^2-1}\,\mathrm{d}x$

Funksjonen $f(x) = \dfrac{24}{\sqrt{x}}$ er gitt.

Vis at likningen for tangenten i punktet $\left(4,\, f(4)\right)$ er gitt ved $y = -\dfrac{3}{2}x + 18$ .

Bestem arealet av det området som er avgrenset av grafen til $f$ , tangenten i $\left(4,\, f(4)\right)$ og linja $x = 2$ .

Gitt punktene $A(1,1,1)$ , $B(3,3,2)$ og $C(2,1,2)$ . Finn $\angle BAC$ .

Løs differensiallikningen $\quad y' + (\cos x)\cdot y = 0 \quad$ når $\quad y(0) = 4$

En rekke er gitt ved at $a_1 = 2$ og $a_{n+1} = a_n + n + 2$ der $n \in N$ .

Skriv opp de 5 første leddene i rekken.

Bruk induksjon til å bevise at det generelle leddet er $a_n = \dfrac{n(n+3)}{2}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Uendelig rekke, Differensiallikning, Tallfølger, Induksjon, Vektorer

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-2 : Drøfting og integrasjon av kubisk sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt funksjonen $\quad f(x) = 3(\sin x)^3 \quad$ der $\quad x \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{3\pi}{2}\right]$

Tegn grafen til $f$ , og finn nullpunktene til funksjonen.

Tegn fortegnslinja til $f'(x)$ og bruk den til å finne eventuelle topp-, bunn- og terrassepunkter på grafen til $f$ .

Det kan vises at $\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x = a(\cos x)^3 + b\cos x + c$ , der $a$ , $b$ og $c$ er konstanter.

Vis at $a = 1$ og $b = -3$ .

Bruk c) til å bestemme arealet som er avgrenset av grafen til $f$ og som ligger over $x$ -aksen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjonsdrøfting, Integrasjon, Bestemt integral, Trigonometri

Oppgave 2-3 : Tetraeder og plan med arealsetning i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et koordinatsystem har vi punktene $O(0,0,0)$ , $A(3,0,0)$ , $B(0,4,0)$ og $C(0,0,5)$ .

Tegn punktene i et koordinatsystem. Finn avstanden fra $A$ til $B$ .

Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ , og bruk svaret til å finne volumet av tetraederet $OABC$ .

En arealsetning oppkalt etter Pytagoras sier at:

F^2_{\triangle ABC} = F^2_{\triangle AOC} + F^2_{\triangle BOC} + F^2_{\triangle AOB}

Her betyr $F_{\triangle ABC}$ arealet av trekanten $ABC$ . Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side.

Regn ut de fire arealene, og kontroller at arealsetningen stemmer i dette tilfellet.

Planet $\alpha$ går gjennom punktene $A$ , $B$ og $C$ .

Bestem likningen til planet $\alpha$ .

Et annet plan $\beta$ er gitt ved

\beta:\quad x + y - z = 5

Finn vinkelen mellom planene $\alpha$ og $\beta$ .

Vi lar nå punktet $C$ få koordinatene $(0,0,t)$ . Vi antar at $t \neq 0$ .

Forklar at likningen til planet $\alpha$ da kan skrives på formen

\alpha:\quad \frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{t} = 1

Finn likningen for det planet som $\alpha$ nærmer seg til når $t \to \infty$ . Hva kan du si om dette planet?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan, Volum

Oppgave 2-4 : Fallskjermhopp og differensiallikning for fart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Newtons 2. lov sier at $F = m \cdot a$ , der $F$ er summen av kreftene som virker på en gjenstand med masse $m$ og akselerasjon $a$ .

Vi minner om at akselerasjonen er den deriverte av farten med hensyn på tiden.

Newtons 2. lov kan for eksempel brukes til å beskrive og studere fallskjermhopp.

En fallskjermhopper med fallskjermen har til sammen massen $m$ . La $v(t)$ være farten til hopperen ved tiden $t$ etter uthoppet. Hoppingen skjer fra et utoverhengende fjell, slik at vi kan anta at $v(0) = 0$ . Det er to krefter som virker på hopperen: tyngdekraften $m \cdot g$ og luftmotstanden som er $-k_1 \cdot v(t)$ når fallskjermen er lukket. Her er $k_1$ en konstant og $g$ er tyngdeakselerasjonen. Alle størrelsene har benevning i SI-systemet, det vil si at masse måles i kg, tid måles i sekunder og strekning måles i meter.

Vis at Newtons 2. lov kan omformes til følgende differensiallikning:

v'(t) + \frac{k_1}{m}v(t) = g

Vi setter $m = 80$ , $g = 10$ og $k_1 = 16$ .

Vis at $v(t) = 50 - 50 \cdot e^{-0{,}2t}$ er en løsning av differensiallikningen i a).

Finn farten og akselerasjonen til hopperen når $t = 4$ .

Etter 5 sekunder drar hopperen i snora og utløser fallskjermen. Vi regner med at luftmotstanden nå blir $-k_2 \cdot v(t)^2$ . Vi setter $g = 10$ og $k_2 = 8$ .

Bruk Newtons 2. lov til å sette opp en differensiallikning for situasjonen når fallskjermen er åpnet.

Differensiallikningen i d) er separabel. Vi setter $v$ i stedet for $v(t)$ . Vis at vi kan skrive differensiallikningen som:

\left(\frac{1}{10-v} + \frac{1}{10+v}\right)\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 2

Finn et uttrykk for $v$ ved å løse differensiallikningen i e).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Integrasjon ved substitusjon, Funksjoner, Bevis

Oppgave 2-4 : Løsningsfamilier til homogen differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

Vi har gitt differensiallikningen

y' - \frac{x}{x^2-1} \cdot y = 0 \qquad \text{der} \quad x \neq -1 \text{ og } x \neq 1

Vis at $y = C\sqrt{1-x^2}$ er en løsning når $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$ .

Skisser grafene til $y$ for $C = 1$ og for $C = -1$ .

Velg andre verdier for $C$ og skisser grafene til $y$ . Kommenter.

Vis at $y = C\sqrt{x^2-1}$ er en løsning når $x \in \langle\leftarrow,\,-1\rangle \cup \langle 1,\,\rightarrow\rangle$ .

Velg ulike verdier for $C$ og skisser grafene til $y$ . Kommenter.

Løs differensiallikningen ved regning

y' - \frac{2}{x^2-1} \cdot y = 0 \qquad \text{når} \quad y(0) = C

Velg ulike verdier for $C$ , og tegn de tilhørende grafene til $y$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Differensiallikning, Funksjoner, Bevis, Graf

Sync på tvers av enheter

R2 Eksempeloppgave 2008

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1 : Mange derivasjoner og integrasjon

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-2 : Drøfting og integrasjon av kubisk sinusfunksjon

Oppgave 2-3 : Tetraeder og plan med arealsetning i rommet

Oppgave 2-4 : Fallskjermhopp og differensiallikning for fart

Oppgave 2-4 : Løsningsfamilier til homogen differensiallikning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave