I denne oppgaven skal vi lage en modell for temperaturen i vannet i et badekar. Badekaret er fylt med vann som til å begynne med har temperaturen $38\ ^\circ\text{C}$. Romtemperaturen er konstant lik $21\ ^\circ\text{C}$.

Vi lar $y(t)$ være vannets temperatur i grader celsius etter $t$ timer.

a)

Forklar hva $y'(t)$ forteller oss, og hvorfor $y'(t)$ er negativ i denne oppgaven.

Vi antar at temperaturendringen per time er proporsjonal med differansen mellom vanntemperaturen $y(t)$ og romtemperaturen. Proporsjonalitetskonstanten er $k$.

b)

Forklar at den differensiallikningen som beskriver denne problemstillingen, er

$$y' = k(y - 21)$$

c)

Forklar hvorfor $y(0) = 38$. Løs differensiallikningen ved regning.

d)

Etter 3 timer er vanntemperaturen $27\ ^\circ\text{C}$. Bruk dette til å bestemme $k$.

e)

Bestem $\displaystyle\lim_{t \to \infty} y(t)$. Kommenter svaret.