Tangentareal til cosinusgraf med optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

Vi har tegnet grafen til

f(x) = \cos x

og en tangent til denne i punktet $P(a,\, f(a))$ .

Skjæringspunktene mellom tangenten og koordinataksene er $A$ og $B$ . Se skissene til høyre.

Skisse 1: graf med tangent og punkter O, B, P, A

Vis at likningen for tangenten er

y = -(\sin a) \cdot x + a \cdot \sin a + \cos a

Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ . Vis at arealet av $\triangle OAB$ er

F_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}(a \cdot \sin a + \cos a) \cdot \left(a + \frac{\cos a}{\sin a}\right)

Skisse 2: graf med fargelagt område mellom cosinus og tangent

Forklar at arealet $T$ av det fargelagte området på skissen til høyre kan skrives

T(a) = F_{\triangle OAB} - 1

Tegn grafen til $T$ når $a \in \left\langle \frac{1}{5},\, \frac{\pi}{2} \right\rangle$

Bestem $T_{\min}$ med tilhørende verdi av $a$ . Finn ut hva som skjer med arealet av det fargelagte området når $a \to \dfrac{\pi}{2}$

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter