Tangent til tredjegradsfunksjon med parameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = a x^{3} - x^{2}, D_{g} = ℝ

Grafen til $g$ har en tangent i punktet $P (t, g (t))$ . Tangenten skjærer grafen til $g$ i et annet punkt $Q$ . Se skissen nedenfor.

Graf til g med tangent i P og skjæringspunkt Q

For hånd

Vis at tangenten har likningen

y = (3 a t^{2} - 2 t) x + t^{2} - 2 a t^{3}

For hånd

Bruk CAS til å bestemme koordinatene til $Q$ , uttrykt ved $a$ og $t$ .

Fasit

$y = (3 a t^{2} - 2 t) x + t^{2} - 2 a t^{3}$

$Q (\frac{1 - 2 a t}{a}, - \frac{2 t {(2 a t - 1)}^{2}}{a})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $g (x) = a x^{3} - x^{2}$ :

g^{'} (x) = 3 a x^{2} - 2 x

Stigningstallet til tangenten i $P (t, g (t))$ er

g^{'} (t) = 3 a t^{2} - 2 t

Verdien til funksjonen i $x = t$ er

g (t) = a t^{3} - t^{2}

Tangentens likning finner vi ved ettpunktsformelen $y = g^{'} (t) (x - t) + g (t)$ :

y = (3 a t^{2} - 2 t) (x - t) + a t^{3} - t^{2}

Vi ganger ut parentesen:

y = (3 a t^{2} - 2 t) x - (3 a t^{2} - 2 t) \cdot t + a t^{3} - t^{2}

y = (3 a t^{2} - 2 t) x - 3 a t^{3} + 2 t^{2} + a t^{3} - t^{2}

Vi samler like ledd ( $- 3 a t^{3} + a t^{3} = - 2 a t^{3}$ og $2 t^{2} - t^{2} = t^{2}$ ):

y = (3 a t^{2} - 2 t) x + t^{2} - 2 a t^{3}

Dette er nettopp likningen vi skulle vise. $■$

Vi skal finne det andre skjæringspunktet $Q$ mellom tangenten og grafen til $g$ , altså løse $g (x) = y_{tangent} (x)$ med CAS.

a x^{3} - x^{2} = (3 a t^{2} - 2 t) x + t^{2} - 2 a t^{3}

Skjermbildet under viser CAS-økten. Vi definerer $g (x)$ , den deriverte $d g (x)$ og tangentlinja $Tang (x)$ (linje 3, som stemmer med svaret i a)). Løser vi $g (x) = Tang (x)$ finner vi at $x = t$ (dobbeltrot, punktet $P$ ) eller $x = \frac{1 - 2 a t}{a}$ (punktet $Q$ ).

CAS-utregning av skjæringspunktet Q

Dermed er $x$ -koordinaten til $Q$ :

x_{Q} = \frac{1 - 2 a t}{a}

Setter vi dette inn i $g (x)$ og forenkler med CAS (linje 5 i skjermbildet), får vi $y$ -koordinaten:

y_{Q} = - \frac{2 t {(2 a t - 1)}^{2}}{a}

Koordinatene til $Q$ , uttrykt ved $a$ og $t$ , blir dermed

Q (\frac{1 - 2 a t}{a}, - \frac{2 t {(2 a t - 1)}^{2}}{a})

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som har skrevet ax i stedet for a*x eller a x i GeoGebra CAS, men ellers har analysert oppgaven riktig, må få noe uttelling.

Dersom CAS ikke er brukt, gis maksimalt 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2015, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Tangent, CAS, Funksjonsdrøfting

Tangent til tredjegradsfunksjon med parameter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent til tredjegradsfunksjon med parameter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent til tredjegradsfunksjon med parameter

Tangent til tredjegradsfunksjon med parameter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer