Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x)=1/x med tangent i punktet (a, f(a)) og akseskjæringspunktene A og B

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f (x) = \frac{1}{x}$ og en tangent i punktet $(a, f (a))$ .

Vis at likningen for tangenten er

y = - \frac{1}{a^{2}} \cdot x + \frac{2}{a}

Tangenten skjærer koordinataksene i $A$ og $B$ .

Bestem koordinatene til $A$ og $B$ .

Bestem arealet av $△ O A B$ . Kommenter svaret.

Fasit

$y = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{2}{a}$

$A = (2 a, 0), B = (0, \frac{2}{a})$

$Areal = 2$ (konstant, uavhengig av $a$ )

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er $f (x) = \frac{1}{x}$ . Vi deriverer:

f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}

I punktet $x = a$ er $f (a) = \frac{1}{a}$ og stigningstallet til tangenten er $f^{'} (a) = - \frac{1}{a^{2}}$ .

Likningen for tangenten i punktet $(a, f (a))$ er gitt ved

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) = - \frac{1}{a^{2}} (x - a) + \frac{1}{a}

Vi utvider parentesen:

y = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{2}{a}

som er det vi skulle vise.

Punktet $A$ er der tangenten skjærer $x$ -aksen, altså der $y = 0$ :

0 = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{2}{a} \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} x = \frac{2}{a} \Rightarrow x = 2 a

Dette gir $A = (2 a, 0)$ .

Punktet $B$ er der tangenten skjærer $y$ -aksen, altså der $x = 0$ :

y = - \frac{1}{a^{2}} \cdot 0 + \frac{2}{a} = \frac{2}{a}

Dette gir $B = (0, \frac{2}{a})$ .

Trekanten $△ O A B$ er rettvinklet, med de to katetene langs $x$ -aksen og $y$ -aksen. Lengden av katetene er $| O A | = | 2 a |$ og $| O B | = | \frac{2}{a} |$ . Arealet blir da

T = \frac{1}{2} \cdot | 2 a | \cdot | \frac{2}{a} | = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2

Arealet av $△ O A B$ er altså $2$ for alle verdier av $a \neq 0$ . Arealet er med andre ord konstant og uavhengig av hvilket punkt på grafen vi legger tangenten i.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

R1 (Del 1, oppgave 3)

Svar som ikke er kommentert gir ikke full uttelling. En god kommentar påpeker at arealet er konstant lik 2, uavhengig av verdien av $a$ .

S1 (Del 2, oppgave 7)
Oppgave 7 har falt uheldig ut. Dette må tas hensyn til ved helhetsvurderingen.
7b) Her forventes at kandidaten kommenterer at arealet er uavhengig av verdien til $a$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2012, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Tangent, Derivasjon, Areal og omkrets, Omvendt proporsjonalitet

Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Lov på eksamen

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer