Tallfølge og delbarhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En tallfølge ${a_{n}}$ er gitt ved $a_{n} = n^{3} + 1$

Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.

Vis at leddene $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ og $a_{4}$ er delelige med henholdsvis 2, 3, 4 og 5.

Vis at $a_{n}$ er delelig med $n + 1$

Fasit

$a_{1} = 2$ , $a_{2} = 9$ , $a_{3} = 28$ , $a_{4} = 65$

$a_{1} = 2$ er delelig med 2, $a_{2} = 9$ er delelig med 3, $a_{3} = 28$ er delelig med 4, $a_{4} = 65$ er delelig med 5.

$n^{3} + 1 = (n + 1) (n^{2} - n + 1)$ , som er delelig med $n + 1$ for alle naturlige tall $n$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $n = 1, 2, 3, 4$ i formelen $a_{n} = n^{3} + 1$ :

a_{1} = 1^{3} + 1 = 2

a_{2} = 2^{3} + 1 = 9

a_{3} = 3^{3} + 1 = 28

a_{4} = 4^{3} + 1 = 65

Vi sjekker at hvert ledd er delelig med henholdsvis 2, 3, 4 og 5:

\frac{a_{1}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow a_{1} er delelig med 2

\frac{a_{2}}{3} = \frac{9}{3} = 3 \Rightarrow a_{2} er delelig med 3

\frac{a_{3}}{4} = \frac{28}{4} = 7 \Rightarrow a_{3} er delelig med 4

\frac{a_{4}}{5} = \frac{65}{5} = 13 \Rightarrow a_{4} er delelig med 5

Vi ønsker å vise at $a_{n} = n^{3} + 1$ er delelig med $n + 1$ for alle naturlige tall $n$ .

Vi faktoriserer $n^{3} + 1$ ved å bruke at $n = - 1$ er en rot (siden ${(- 1)}^{3} + 1 = 0$ ), og utfører polynomdivisjon:

n^{3} + 1 = (n + 1) (n^{2} - n + 1)

Vi kan verifisere dette ved å gange ut:

(n + 1) (n^{2} - n + 1) = n^{3} - n^{2} + n + n^{2} - n + 1 = n^{3} + 1 ✓

Siden $n^{3} + 1 = (n + 1) (n^{2} - n + 1)$ , er $(n + 1)$ en faktor i $a_{n}$ for alle naturlige tall $n$ . Dermed er $a_{n}$ delelig med $n + 1$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2015, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Tallfølger, Bevis, Argumentasjon

Innstillinger