Tallfølge med programmering og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
    print(a)
    a = a + (i + 2)

Beskriv mønsteret i tallfølgen eleven arbeider med. Hva blir resultatet når koden kjøres?

Eleven har også skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
    S = S + a
    a = a + (i + 2)
print(S)

Hva ønsker eleven nå å finne ut? Hva blir resultatet når koden kjøres?

Tallene fra oppgave a) er starten på en rekke.

Bruk induksjon til å vise at et ledd i rekken kan uttrykkes som

a_{n} = \frac{n (n + 3)}{2}, n \geq 1

Fasit

Koden skriver ut tallfølgen 2, 5, 9, 14, 20. Differansen mellom leddene starter på 3 og øker med 1 for hvert ledd.

Eleven finner delsummen etter 5 ledd. Programmet skriver ut 50.

Se løsningsforslag (induksjonsbevis).

Løsningsforslag

Her setter vi opp en oversikt for å se hvordan variablene i programmet utvikler seg.

`i`	`a`	Beregning av neste `a`
1	2	$2 + 1 + 2 = 5$
2	5	$5 + 2 + 2 = 9$
3	9	$9 + 3 + 2 = 14$
4	14	$14 + 4 + 2 = 20$
5	20

Vi ser en tallfølge hvor differansene mellom leddene starter på 3, og deretter øker med 1 for hvert ledd. Matematisk kan dette uttrykkes med den rekursive sammenhengen

a_{n + 1} = a_{n} + n + 2

Koden skriver ut leddene i tallfølgen 2, 5, 9, 14, 20.

Eleven har lagt til en variabel S. S gir en løpende sum av verdiene til a, derfor vil S være delsummen til rekka etter n ledd.

Eleven ønsker å finne delsummen til rekka etter 5 ledd, altså $2 + 5 + 9 + 14 + 20 = 50$

Påstanden vår er at

a_{n} = \frac{n (n + 3)}{2}, n \geq 1

Vi viser at dette gjelder for $n = 1$

a_{1} = \frac{1 (1 + 3)}{2} = \frac{4}{2} = 2 ✓

Vi antar at formelen gjelder for $n = k$ slik at

a_{k} = \frac{k (k + 3)}{2}

Vi finner $a_{k + 1}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen fra b).

a_{k + 1} = a_{k} + k + 2 = \frac{k (k + 3)}{2} + \frac{2 k}{2} + \frac{4}{2} = \frac{k^{2} + 3 k + 2 k + 4}{2} = \frac{k^{2} + 5 k + 4}{2}

Deretter finner vi $a_{k + 1}$ ved å bruke formelen.

a_{k + 1} = \frac{(k + 1) ((k + 1) + 3)}{2} = \frac{k^{2} + 2 k + 1 + 3 k + 3}{2} = \frac{k^{2} + 5 k + 4}{2} ✓

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

1 poeng for å beskrive mønsteret og 1 poeng for riktig resultat av kjøringen.

1 poeng for å beskrive hva eleven ønsker å finne ut og 1 poeng for riktig resultat av kjøringen.

Induksjonsbeviset må kommuniseres godt for å få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2025, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Programmering, Rekker, Bevis
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis

Tallfølge med programmering og induksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tallfølge med programmering og induksjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tallfølge med programmering og induksjon

Tallfølge med programmering og induksjon

Lov på eksamen

Temaer