T-skjorter, inntekt og overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger T-skjorter. Prisen $p (x)$ kroner per T-skjorte ved produksjon og salg av $x$ T-skjorter per uke er gitt ved

p (x) = - 0,001 x^{2} + 0,2 x + 100

De totale kostnadene $K (x)$ kroner per uke er gitt ved

K (x) = 0,1 x^{2} + 8000

Kalkulator

Bestem den største mulige inntekten bedriften kan få per uke.

Kalkulator

Bestem det største mulige overskuddet bedriften kan få per uke.

Bedriften ønsker å gjennomføre en kampanje hvor de en uke donerer 30 kroner per solgte T-skjorte til veldedighet.

Oppsett for hånd

Bestem det største antallet T-skjorter bedriften kan produsere og selge i en uke med kampanje uten å gå med underskudd.

Fasit

Største inntekt: $I \approx 21 945 k r / u k e$ ved $x = 261$ T-skjorter.

Største overskudd: $O \approx 8 193 k r / u k e$ ved $x = 219$ T-skjorter.

Bedriften kan selge maks $251 T-skjorter$ uten å gå med underskudd.

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer inntektsfunksjonen og overskuddsfunksjonen:

I (x) = x \cdot p (x) = - 0,001 x^{3} + 0,2 x^{2} + 100 x

O (x) = I (x) - K (x) = - 0,001 x^{3} + 0,1 x^{2} + 100 x - 8000

Vi løser alle deloppgavene i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – inntekt, overskudd og kampanje

For å finne største inntekt setter vi $I^{'} (x) = 0$ og løser:

I^{'} (x) = - 0,003 x^{2} + 0,4 x + 100 = 0

GeoGebra CAS (linje 7) gir $x \approx 261$ (positiv løsning).

Vi sjekker at dette er et maksimum: $I^{''} (x) = - 0,006 x + 0,4$ , og $I^{''} (261) = - 0,006 \cdot 261 + 0,4 \approx - 1,2 < 0$ — bekrefter maksimum.

GeoGebra CAS (linje 8): $I (261) \approx 21 945 kr$ .

Den største mulige inntekten er $I \approx 21 945 k r / u k e$ ved produksjon og salg av 261 T-skjorter.

For å finne største overskudd setter vi $O^{'} (x) = 0$ og løser:

O^{'} (x) = - 0,003 x^{2} + 0,2 x + 100 = 0

GeoGebra CAS (linje 10) gir $x \approx 219$ (positiv løsning).

GeoGebra CAS (linje 11): $O (219) \approx 8 193 kr$ .

Det største mulige overskuddet er $O \approx 8 193 k r / u k e$ ved produksjon og salg av 219 T-skjorter.

Med kampanje doneres 30 kr per solgte T-skjorte, slik at overskuddsfunksjonen blir:

O_{k} (x) = I (x) - K (x) - 30 x = - 0,001 x^{3} + 0,1 x^{2} + 70 x - 8000

Vi vil finne det største antallet T-skjorter $x$ der $O_{k} (x) \geq 0$ , dvs. vi løser $O_{k} (x) = 0$ .

GeoGebra CAS (linje 12) gir røttene $x \approx - 269,6$ , $x \approx 117,8$ og $x \approx 251,8$ .

Den største positive røtten er $x \approx 251,8$ . Vi sjekker: $O_{k} (251) \approx 57 > 0$ og $O_{k} (252) \approx - 13 < 0$ .

Bedriften kan produsere og selge maks $251 T-skjorter$ i kampanjeuken uten å gå med underskudd.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En god strategi som ikke fører til svaret, kan gi 1 poeng.

Kandidater som finner $x$ -verdien men ikke regner ut overskuddet kan få 1 poeng.

Kandidater som har feil avrunding i svaret kan få 2 poeng, men det kan tas med i helhetsvurderingen. En god strategi som ikke fører til riktig svar, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2025, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Økonomi, Derivasjon, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett

T-skjorter, inntekt og overskudd

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

T-skjorter, inntekt og overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

T-skjorter, inntekt og overskudd

T-skjorter, inntekt og overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer