Thomas står i et punkt $A$ på kanten av et sirkelformet svømmebasseng med diameter $AB = 40\,\mathrm{m}$. Thomas vil komme seg raskest mulig over til punkt $B$.

Thomas kan løpe med farten $2k\,\mathrm{m/s}$ og svømme med farten $k\,\mathrm{m/s}$.

Et punkt $C$ på bassengkanten er gitt ved at $\angle AOC = \theta$ der $\theta \in [0, \pi]$. I punktet $A$ er $\theta = 0$.

I punktet $B$ er $\theta = \pi$. $\angle BOM = \dfrac{\pi - \theta}{2}$ der $M$ er midtpunktet på $BC$. Se skissen nedenfor.

a)

Vis at tiden som Thomas bruker for å løpe fra $A$ til $C$ og deretter svømme fra $C$ til $B$ kan beskrives av funksjonen $T$ gitt ved

$$T(\theta) = \frac{10\theta}{k} + \frac{40\sin\!\left(\dfrac{\pi - \theta}{2}\right)}{k} \,, \quad D_T = [0, \pi],\; k \in \mathbb{R}^+$$

b)

Bruk blant annet $T'(\theta)$ til å avgjøre hvordan Thomas på raskest mulig måte kan komme seg fra $A$ til $B$.