Sum av påfølgende kvadrattall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre påfølgende kvadrattall kan alltid skrives på formen $n^2$ , $(n+1)^2$ og $(n+2)^2$ . Med for eksempel $n = 1$ , får vi kvadrattallene 1, 4 og 9.

Summen av tre påfølgende kvadrattall er 365.

Sett opp en likning, løs denne og bestem $n$ og de tre kvadrattallene.

Summen av to påfølgende kvadrattall er 365.

Bestem $n$ og de to kvadrattallene.

Fasit

$n = 10$ ; kvadrattallene er $\underline{\underline{100, 121 \text{ og } 144}}$

$n = 13$ ; kvadrattallene er $\underline{\underline{169 \text{ og } 196}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar de tre påfølgende kvadrattallene være $n^2$ , $(n+1)^2$ og $(n+2)^2$ .

Vi setter opp likningen:

n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 365

Vi ekspanderer kvadratene:

n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 365

3n^2 + 6n + 5 = 365

3n^2 + 6n - 360 = 0

n^2 + 2n - 120 = 0

Vi løser andregradslikningen med GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: løsning av begge deloppgavene

CAS gir $n = -12$ eller $n = 10$ . Siden $n$ må være et positivt heltall (vi vil ha tre positive kvadrattall), er $n = 10$ .

De tre kvadrattallene er:

n^2 = 10^2 = 100

(n+1)^2 = 11^2 = 121

(n+2)^2 = 12^2 = 144

Sjekk: $100 + 121 + 144 = 365$ ✓

De tre påfølgende kvadrattallene er $\underline{\underline{100, 121 \text{ og } 144}}$ .

Vi lar de to påfølgende kvadrattallene være $n^2$ og $(n+1)^2$ .

Vi setter opp likningen:

n^2 + (n+1)^2 = 365

n^2 + n^2 + 2n + 1 = 365

2n^2 + 2n - 364 = 0

n^2 + n - 182 = 0

CAS (se skjermbilde over, linje 2) gir $n = -14$ eller $n = 13$ . Siden $n$ må være positiv, er $n = 13$ .

De to kvadrattallene er:

n^2 = 13^2 = 169

(n+1)^2 = 14^2 = 196

Sjekk: $169 + 196 = 365$ ✓

De to påfølgende kvadrattallene er $\underline{\underline{169 \text{ og } 196}}$ .

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter