Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (0, 0)$ , $B (9, 1)$ og $C (24, 10)$ . En stråle $ℓ$ er gitt ved parameterframstillingen

ℓ : {\begin{matrix} x = 12 t \\ y = 5 t \end{matrix}, t > 0

For hånd

Vis at $C$ ligger på $ℓ$ .

Kalkulator

Bruk vektorregning til å bestemme $∠ B A C$ .

Et annet punkt $D$ ligger på $ℓ$ slik at $∠ A D B = 120 °$ .

Kalkulator

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til $D$ .

Et punkt $E$ ligger på $ℓ$ slik at arealet til $△ A B E$ er 11.

For hånd

Bestem de eksakte koordinatene til $E$ .

Fasit

$C$ ligger på $ℓ$ (med $t = 2$ )

$∠ B A C = \arccos (\frac{113 \sqrt{82}}{1066}) \approx 16,28 °$

$D = (\frac{1356 - 132 \sqrt{3}}{169}, \frac{565 - 55 \sqrt{3}}{169})$

$E = (8, \frac{10}{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Strålen $ℓ$ er gitt ved $x = 12 t$ , $y = 5 t$ for $t > 0$ .

Vi prøver $C (24, 10)$ :

x = 24 ⟹ 12 t = 24 ⟹ t = 2

y = 5 \cdot 2 = 10 ✓

Siden $t = 2 > 0$ gir begge koordinatene til $C$ , ligger $C$ på $ℓ$ .

Vi bruker prikkprodukt for å finne $∠ B A C$ . Vektorene fra $A (0,0)$ er:

\vec{A B} = (9, 1), \vec{A C} = (24, 10)

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9 \cdot 24 + 1 \cdot 10 = 216 + 10 = 226

| \vec{A B} | = \sqrt{9^{2} + 1^{2}} = \sqrt{82}, | \vec{A C} | = \sqrt{24^{2} + 10^{2}} = \sqrt{676} = 26

\cos (∠ B A C) = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | | \vec{A C} |} = \frac{226}{\sqrt{82} \cdot 26} = \frac{113 \sqrt{82}}{1066}

∠ B A C = \arccos (\frac{113 \sqrt{82}}{1066}) \approx 16,28 °

$D$ ligger på $ℓ$ , så $D = (12 t, 5 t)$ for en $t > 0$ .

Vektorene fra $D$ :

\vec{D A} = (0 - 12 t, 0 - 5 t) = (- 12 t, - 5 t)

\vec{D B} = (9 - 12 t, 1 - 5 t)

Prikkproduktet:

\vec{D A} \cdot \vec{D B} = (- 12 t) (9 - 12 t) + (- 5 t) (1 - 5 t) = - 108 t + 144 t^{2} - 5 t + 25 t^{2} = 169 t^{2} - 113 t

Lengdene:

| \vec{D A} | = \sqrt{144 t^{2} + 25 t^{2}} = 13 t

| \vec{D B} | = \sqrt{{(9 - 12 t)}^{2} + {(1 - 5 t)}^{2}} = \sqrt{169 t^{2} - 226 t + 82}

Betingelsen $∠ A D B = 120 °$ gir $\cos (120 °) = - \frac{1}{2}$ :

\frac{169 t^{2} - 113 t}{13 t \sqrt{169 t^{2} - 226 t + 82}} = - \frac{1}{2}

For $t > 0$ deler vi med $t$ i teller og i $| \vec{D A} |$ :

\frac{169 t - 113}{13 \sqrt{169 t^{2} - 226 t + 82}} = - \frac{1}{2}

Siden venstre side skal være negativ, kreves $169 t - 113 < 0$ , altså $t < \frac{113}{169}$ .

Ganger begge sider med $- 2 \cdot 13$ :

2 (113 - 169 t) = 13 \sqrt{169 t^{2} - 226 t + 82}

Kvadrerer (begge sider er positive):

4 {(113 - 169 t)}^{2} = 169 (169 t^{2} - 226 t + 82)

4 \cdot 113^{2} - 8 \cdot 113 \cdot 169 t + 4 \cdot 169^{2} t^{2} = 169^{2} t^{2} - 169 \cdot 226 t + 169 \cdot 82

3 \cdot 169^{2} t^{2} + 169 (- 904 + 226) t + (4 \cdot 12769 - 13858) = 0

85683 t^{2} - 114582 t + 37218 = 0

Deler med GCD = 1014:

\frac{85683}{1014} t^{2} - \frac{114582}{1014} t + \frac{37218}{1014} = 0

169 \cdot \frac{169}{2} \cdot \dots

Vi løser direkte med andregradsformelen. Diskriminant:

Δ = 114582^{2} - 4 \cdot 85683 \cdot 37218 = 373 235 148 = {(11154)}^{2} \cdot 3

\sqrt{Δ} = 11154 \sqrt{3} = 1014 \cdot 11 \sqrt{3}

t = \frac{114582 \pm 1014 \cdot 11 \sqrt{3}}{2 \cdot 85683} = \frac{114582 \pm 11154 \sqrt{3}}{171366}

Deler teller og nevner med 1014:

t = \frac{113 \pm 11 \sqrt{3}}{169}

Vi sjekker hvilken løsning som tilfredsstiller $t < \frac{113}{169}$ :

$t_{1} = \frac{113 + 11 \sqrt{3}}{169} \approx 0,781$ — oppfyller ikke $t < \frac{113}{169} \approx 0,669$
$t_{2} = \frac{113 - 11 \sqrt{3}}{169} \approx 0,556$ — oppfyller kravet $✓$

t = \frac{113 - 11 \sqrt{3}}{169}

Koordinatene til $D$ :

D = (\frac{12 (113 - 11 \sqrt{3})}{169}, \frac{5 (113 - 11 \sqrt{3})}{169}) = (\frac{1356 - 132 \sqrt{3}}{169}, \frac{565 - 55 \sqrt{3}}{169})

$E$ ligger på $ℓ$ , så $E = (12 t, 5 t)$ .

Arealet av $△ A B E$ med $A = (0,0)$ , $B = (9,1)$ , $E = (12 t, 5 t)$ :

Areal = \frac{1}{2} | \det (\begin{matrix} 9 & 12 t \\ 1 & 5 t \end{matrix}) | = \frac{1}{2} | 9 \cdot 5 t - 1 \cdot 12 t | = \frac{1}{2} \cdot 33 t = \frac{33 t}{2}

Setter arealet lik 11:

\frac{33 t}{2} = 11 ⟹ t = \frac{2}{3}

E = (12 \cdot \frac{2}{3}, 5 \cdot \frac{2}{3}) = (8, \frac{10}{3})

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2022, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Trigonometri

Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer