Sparekonto med fast og variabel rente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Etter et arveoppgjør fikk Petter utbetalt 850 000 kroner. Den 1. januar 2008 opprettet han en sparekonto og satte inn hele beløpet på denne kontoen. Han bestemte seg for at pengene skulle stå urørt i banken i ti år.

Han fikk da to ulike tilbud fra banken.

Tilbud 1: En fast årlig rentesats på 4 % per år disse ti årene.

Tilbud 2: En rentesats som ville endres én gang per år i tråd med svingninger i pengemarkedet. Det første året ville rentesatsen bli satt til 5,4 %.

Petter valgte tilbud 2. I regnearket nedenfor ser du hvilken rentesats han fikk hvert år de ti årene.

Regneark med sparebeløp og rentesatser 2008–2017

Hvor mye hadde Petter til sammen fått i renter i løpet av de ti årene om han hadde valgt tilbud 1?

Lag en tabell i et regneark som vist til høyre. Legg inn opplysningene i de hvite cellene. I de blå cellene skal du sette inn formler.

Lag en ny tabell i regnearket fra oppgave b). Den nye tabellen skal vise hvor mye Peter hadde fått i renter hvert år om han hadde valgt tilbud 1.

Bruk tabellen fra oppgave c) til å bestemme hva den faste rentesatsen i tilbud 1 måtte ha vært for at Petter til sammen skulle fått like mye renter ved å benytte seg av dette tilbudet som han fikk ved å benytte seg av tilbud 2.

Bruk graftegner til å tegne grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 850\,000 \cdot x^{10}

Vis hvordan du kan bruke den grafiske framstillingen til å komme fram til svaret du fikk i oppgave d).

Fasit

$\underline{\underline{408\,207{,}64 \, \mathrm{kr}}}$ i renter totalt ved tilbud 1.

Se regneark-tabell i løsningsforslaget.

Den faste rentesatsen måtte ha vært omtrent $\underline{\underline{2{,}4\,\%}}$ .

Se graf i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Med fast årlig rente på $4\,\%$ vokser beløpet med vekstfaktoren $1{,}04$ hvert år. Etter $10$ år er beløpet:

850\,000 \cdot 1{,}04^{10} \approx 1\,258\,207{,}64 \, \mathrm{kr}

Totale renter:

1\,258\,207{,}64 - 850\,000 = 408\,207{,}64 \, \mathrm{kr}

Petter ville ha fått $\underline{\underline{408\,207{,}64 \, \mathrm{kr}}}$ i renter ved tilbud 1.

Vi setter opp regnearket med sparebeløpet i celle B1. For hvert år beregner vi renter og nytt beløp. Formlene bruker cellereferanser slik at regnearket oppdaterer seg automatisk.

Kolonnene er:

A: År (hvit celle — tall skrevet inn)
B: Rentesats (hvit celle — tall skrevet inn)
C: På kontoen før renter er lagt til (blå celle — formel)
D: Renter (blå celle — formel)
E: På kontoen etter at renter er lagt til (blå celle — formel)

Formel-logikken i regnearket (rad 4 er år 2008, rad 5 er år 2009, osv.):

Celle	Formel	Forklaring
C4	`=$B$1`	Første år: beløpet er lik sparebeløpet i B1
D4	`=C4*B4/100`	Renter = beløp × rentesats
E4	`=C4+D4`	Beløp etter renter = beløp + renter
C5	`=E4`	Neste år starter med beløpet fra forrige år
D5	`=C5*B5/100`	Samme mønster
E5	`=C5+D5`	Samme mønster

Rad 6–13 følger samme mønster som rad 5. I celle D15 legger vi inn =SUMMER(D4:D13) for sum renter.

Utfylt tabell (tilbud 2):

År	Rentesats	På kontoen før	Renter	På kontoen etter
2008	$5{,}4\,\%$	$850\,000{,}00$	$45\,900{,}00$	$895\,900{,}00$
2009	$3{,}5\,\%$	$895\,900{,}00$	$31\,356{,}50$	$927\,256{,}50$
2010	$2{,}3\,\%$	$927\,256{,}50$	$21\,326{,}90$	$948\,583{,}40$
2011	$2{,}4\,\%$	$948\,583{,}40$	$22\,766{,}00$	$971\,349{,}40$
2012	$2{,}2\,\%$	$971\,349{,}40$	$21\,369{,}69$	$992\,719{,}09$
2013	$2{,}2\,\%$	$992\,719{,}09$	$21\,839{,}82$	$1\,014\,558{,}91$
2014	$2{,}1\,\%$	$1\,014\,558{,}91$	$21\,305{,}74$	$1\,035\,864{,}64$
2015	$1{,}6\,\%$	$1\,035\,864{,}64$	$16\,573{,}83$	$1\,052\,438{,}48$
2016	$1{,}2\,\%$	$1\,052\,438{,}48$	$12\,629{,}26$	$1\,065\,067{,}74$
2017	$1{,}1\,\%$	$1\,065\,067{,}74$	$11\,715{,}75$	$1\,076\,783{,}49$
Sum renter			$226\,783{,}49$

Vi lager en ny tabell for tilbud 1 med fast rente $4\,\%$ . Rentesatsen i kolonne B er nå alltid $4$ . Formlene i C, D og E er de samme som i oppgave b).

År	Rentesats	På kontoen før	Renter	På kontoen etter
2008	$4{,}0\,\%$	$850\,000{,}00$	$34\,000{,}00$	$884\,000{,}00$
2009	$4{,}0\,\%$	$884\,000{,}00$	$35\,360{,}00$	$919\,360{,}00$
2010	$4{,}0\,\%$	$919\,360{,}00$	$36\,774{,}40$	$956\,134{,}40$
2011	$4{,}0\,\%$	$956\,134{,}40$	$38\,245{,}38$	$994\,379{,}78$
2012	$4{,}0\,\%$	$994\,379{,}78$	$39\,775{,}19$	$1\,034\,154{,}97$
2013	$4{,}0\,\%$	$1\,034\,154{,}97$	$41\,366{,}20$	$1\,075\,521{,}16$
2014	$4{,}0\,\%$	$1\,075\,521{,}16$	$43\,020{,}85$	$1\,118\,542{,}01$
2015	$4{,}0\,\%$	$1\,118\,542{,}01$	$44\,741{,}68$	$1\,163\,283{,}69$
2016	$4{,}0\,\%$	$1\,163\,283{,}69$	$46\,531{,}35$	$1\,209\,815{,}04$
2017	$4{,}0\,\%$	$1\,209\,815{,}04$	$48\,392{,}60$	$1\,258\,207{,}64$
Sum renter			$408\,207{,}64$

Fra oppgave b) vet vi at Petter fikk totalt $226\,783{,}49 \, \mathrm{kr}$ i renter med tilbud 2.

Vi ønsker å finne den faste rentesatsen $r$ (i prosent) som gir akkurat like mye i sum renter. Med fast rente gjelder renters-rente-formelen, og vi kan bruke tabellen fra oppgave c) der vi bytter ut $4\,\%$ med den ukjente rentesatsen.

Vi prøver ulike verdier for $r$ i regnearket (endre rentesatsen i B-kolonnen til ønsket verdi) og ser hva sum renter blir:

$r = 3{,}0\,\%$ : sum renter $\approx 298\,000 \, \mathrm{kr}$ (for mye)
$r = 2{,}5\,\%$ : sum renter $\approx 244\,000 \, \mathrm{kr}$ (for mye)
$r = 2{,}4\,\%$ : sum renter $\approx 233\,000 \, \mathrm{kr}$ (litt for mye)
$r = 2{,}3\,\%$ : sum renter $\approx 222\,000 \, \mathrm{kr}$ (litt for lite)

Vi ser at $r \approx 2{,}4\,\%$ gir sum renter nærmest $226\,783 \, \mathrm{kr}$ .

Den faste rentesatsen i tilbud 1 måtte ha vært omtrent $\underline{\underline{2{,}4\,\%}}$ for at Petter skulle fått like mye renter som ved tilbud 2.

Vi tegner grafen til $f(x) = 850\,000 \cdot x^{10}$ i en graftegner.

På $x$ -aksen leses av vekstfaktoren, og på $y$ -aksen avleses sluttbeløpet. Fra oppgave b) vet vi at Petter endte opp med $1\,076\,783{,}49 \, \mathrm{kr}$ etter ti år med tilbud 2.

Vi tegner en horisontal linje ved $y = 1\,076\,783{,}49$ og finner skjæringspunktet med grafen. $x$ -verdien i skjæringspunktet er vekstfaktoren som tilsvarer den ekvivalente faste rentesatsen.

$Grafen til f(x) = 850\,000 \cdot x^{10} med den vannrette linjen y = 1\,076\,783{,}49. Skjæringspunktet ligger ved x \approx 1{,}024$

Fra grafen leser vi av $x \approx 1{,}024$ , som svarer til en rentesats på $\approx 2{,}4\,\%$ .

Dette bekrefter svaret fra oppgave d).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Rente, Sparing, Regresjon, Graf, Økonomi

Sparekonto med fast og variabel rente

Sync på tvers av enheter

Sparekonto med fast og variabel rente

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave