Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26

Et firma har søkt etter 5 sommervikarer. Firmaet har mottatt 80 søknader. Blant søkerne er det 14 ungdommer under 16 år.

Ledelsen bestemmer seg for å intervjue noen av søkerne. Søkerne som skal intervjues, trekkes ut tilfeldig.

Ledelsen ønsker å intervjue 10 søkere.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at minst 8 av disse er 16 år eller eldre.

Ledelsen ønsker at flere av søkerne de innkaller til intervju, er 16 år eller eldre.

Oppsett for hånd

Hvor mange søkere må ledelsen minst intervjue for å være 90 % sikre på at 10 eller flere er 16 år eller eldre?

Fasit

$P (minst 8 er 16+) \approx 0,7603$

Minst 14 søkere må intervjues.

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være antallet søkere under 16 år blant de som trekkes ut. Vi har totalt $N = 80$ søkere, hvorav $M = 14$ er under 16 år og $N - M = 66$ er 16 år eller eldre.

$X$ er hypergeometrisk fordelt med $N = 80$ , $M = 14$ og trekkstørrelse $n$ .

P (X = k) = \frac{(\binom{M}{k}) (\binom{N - M}{n - k})}{(\binom{N}{n})} = \frac{(\binom{14}{k}) (\binom{66}{n - k})}{(\binom{80}{n})}

Ledelsen trekker $n = 10$ søkere. Vi ønsker sannsynligheten for at minst 8 av disse er 16 år eller eldre.

«Minst 8 er 16+» tilsvarer «høyst 2 er under 16», altså $X \leq 2$ .

P (X \leq 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

P (X = 0) = \frac{(\binom{14}{0}) (\binom{66}{10})}{(\binom{80}{10})} = \frac{1 \cdot (\binom{66}{10})}{(\binom{80}{10})} \approx 0,1281

P (X = 1) = \frac{(\binom{14}{1}) (\binom{66}{9})}{(\binom{80}{10})} = \frac{14 \cdot (\binom{66}{9})}{(\binom{80}{10})} \approx 0,3147

P (X = 2) = \frac{(\binom{14}{2}) (\binom{66}{8})}{(\binom{80}{10})} = \frac{91 \cdot (\binom{66}{8})}{(\binom{80}{10})} \approx 0,3174

P (X \leq 2) \approx 0,1281 + 0,3147 + 0,3174 = 𝟎,𝟕𝟔𝟎𝟑

I GeoGebra kan vi bruke sannsynlighetskalkulatoren med hypergeometrisk fordeling ( $N = 80$ , $M = 14$ , $n = 10$ ) og lese av $P (X \leq 2) \approx 0,7603$ .

Sannsynligheten for at minst 8 av de 10 søkerne er 16 år eller eldre er omtrent $0,7603$ (ca. 76 %).

Nå er $n$ ukjent. Vi ønsker at sannsynligheten for at minst 10 av de $n$ intervjuede er 16 år eller eldre, skal være minst 90 %.

«Minst 10 er 16+» tilsvarer «høyst $n - 10$ er under 16», altså $X \leq n - 10$ .

Vi ønsker:

P (X \leq n - 10) \geq 0,90

Vi prøver systematisk for ulike verdier av $n$ :

$n$	$P (X \leq n - 10)$
12	$\approx 0,6500$
13	$\approx 0,8374$
14	$\approx 0,9375$

For $n = 13$ er sannsynligheten ca. 83,7 %, som er under 90 %.

For $n = 14$ er sannsynligheten ca. 93,8 %, som er over 90 %.

Ledelsen må minst intervjue $14$ søkere for å være 90 % sikre på at 10 eller flere er 16 år eller eldre.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som regner ut sannsynligheten for akkurat 8 kandidater kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten vise at svaret er den minste mulige verdien vi kan ha.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2026, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet
Kompetansemål: Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene

Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26

Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer