Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A (0, 7, 5)$ , $B (1, 7, 2)$ , $C (- 2, 2, 0)$ og $D (1, 1, h)$ .

Linjen $ℓ$ går gjennom $A$ og $B$ .
Linjen $m$ går gjennom $C$ og $D$ .

Et plan $α$ er gitt ved likningen

3 x + (h + 9) y + z = 68 + 7 h

Kalkulator

Bestem en eksakt verdi for $h$ slik at linjene skjærer hverandre.

Kalkulator

Vis at linjen $ℓ$ ligger i planet $α$ , og at linjen $m$ er parallell med planet $α$ .

Kalkulator

Bestem $h$ slik at avstanden mellom linjene $ℓ$ og $m$ blir $4$ .

Fasit

$h = - \frac{56}{5}$

Vist i løsningsforslaget.

$h = \frac{4 \sqrt{211} - 136}{9} \lor h = \frac{- 4 \sqrt{211} - 136}{9}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp parameterframstillinger for de to linjene ut fra punktene.

Linjen $ℓ$ går gjennom $A (0,7,5)$ og $B (1,7,2)$ , med retningsvektor $\vec{A B} = (1, 0, - 3)$ :

ℓ : (x, y, z) = (0, 7, 5) + t (1, 0, - 3)

Linjen $m$ går gjennom $C (- 2,2,0)$ og $D (1,1, h)$ , med retningsvektor $\vec{C D} = (3, - 1, h)$ :

m : (x, y, z) = (- 2, 2, 0) + s (3, - 1, h)

Linjene skjærer hverandre dersom det finnes $t$ , $s$ og $h$ som gir samme punkt:

{\begin{matrix} t & = - 2 + 3 s \\ 7 & = 2 - s \\ 5 - 3 t & = s h \end{matrix}

Fra likning 2 får vi $s = - 5$ , og da fra likning 1: $t = - 2 + 3 \cdot (- 5) = - 17$ . Sett inn i CAS (se skjermbilde, linje 1–2) for å løse for $h$ ut fra likning 3:

5 - 3 \cdot (- 17) = - 5 h \Rightarrow 56 = - 5 h

Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri CAS

Dette gir

h = - \frac{56}{5}

Her betrakter vi $h$ som en fri variabel (ikke verdien fra a), siden dette skal gjelde uansett hvilken $h$ som senere velges i c).

$ℓ$ ligger i $α$ : Planet $α$ har normalvektor $\vec{n} = (3, h + 9, 1)$ . For at $ℓ$ skal ligge i $α$ må (1) et punkt på $ℓ$ , f.eks. $A$ , oppfylle planlikningen, og (2) retningsvektoren til $ℓ$ være ortogonal på $\vec{n}$ .

Setter $A (0,7,5)$ inn i planlikningen (CAS, linje 3):

3 \cdot 0 + (h + 9) \cdot 7 + 5 - (68 + 7 h) = 0

Likningen holder for alle verdier av $h$ , så $A$ ligger i $α$ uansett $h$ .

Sjekker at retningsvektoren $\vec{A B} = (1, 0, - 3)$ er ortogonal på $\vec{n}$ (CAS, linje 4):

\vec{A B} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 1 + (h + 9) \cdot 0 + 1 \cdot (- 3) = 0

Også dette holder for alle $h$ . Dermed ligger hele linjen $ℓ$ i planet $α$ , uansett hvilken verdi $h$ har.

$m$ er parallell med $α$ : Sjekker at retningsvektoren $\vec{C D} = (3, - 1, h)$ er ortogonal på $\vec{n}$ (CAS, linje 5):

\vec{C D} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 3 + (- 1) \cdot (h + 9) + 1 \cdot h = 0

Dette holder for alle $h$ , så $\vec{C D} ⟂ \vec{n}$ . Siden $C$ ikke ligger i planet for generelle $h$ (planlikningen for $C (- 2,2,0)$ gir $- 6 + 2 (h + 9) = 12 + 2 h \neq 68 + 7 h$ for de fleste $h$ ), er $m$ parallell med $α$ uten å ligge i det. $Vist$

Siden $ℓ$ ligger i $α$ og $m$ er parallell med $α$ , er avstanden mellom de to linjene lik avstanden fra et hvilket som helst punkt på $m$ (f.eks. $C$ ) til planet $α$ . Punkt-plan-avstandsformelen gir

d = \frac{| 3 \cdot (- 2) + (h + 9) \cdot 2 + 1 \cdot 0 - (68 + 7 h) |}{\sqrt{3^{2} + {(h + 9)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{| - 5 h - 56 |}{\sqrt{10 + {(h + 9)}^{2}}}

Vi krever $d = 4$ :

{(5 h + 56)}^{2} = 16 (10 + {(h + 9)}^{2})

Løses i CAS (skjermbilde, linje 6):

h = \frac{4 \sqrt{211} - 136}{9} \lor h = \frac{- 4 \sqrt{211} - 136}{9}

h = \frac{4 \sqrt{211} - 136}{9} \approx - 8,66 \lor h = \frac{- 4 \sqrt{211} - 136}{9} \approx - 21,57

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2022, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Bevis

Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer