Sinusfunksjon og cosinusfunksjon

Figuren viser grafen til funksjonen

f (x) = 2 \cdot \sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2}) - 1

Grafen til f(x)

Bestem en funksjon på formen $g (x) = A \cdot \cos (c x + φ) + d$ , som passer til grafen.

Løs likningen $\cos (\frac{π}{4} x - π) = \frac{1}{2}$ , der $x \in [0, 3 π]$ . Forklar hvor på figuren løsningene ligger.

Fasit

$g (x) = 2 \cos (\frac{π}{4} x + π) - 1$

$x = \frac{8}{3}$ og $x = \frac{16}{3}$

Løsningsforslag

Vi kan omskrive en sinusfunksjon til en cosinusfunksjon ved å endre på faseforksyvningen. Likevektslinje, periode og amplitude vil være lik som for sinusfunksjonen.

Vi ser at $f$ har et bunnpunkt i $(0, - 3)$ . Vi vet at $\cos u$ har bunnpunkt når $u = π$ , så vi kan faseforskyve med $π$

g (x) = 2 \cdot \cos (\frac{π}{4} x + π) - 1

Vi vet at $\cos 60 ° = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , derfor må $\cos (\frac{π}{3} + 2 k π) = \frac{1}{2} = \cos (\frac{5 π}{3} + 2 k π)$ der $k \in ℤ$ . Vi kan løse for $x$ i to steg. Først setter vi opp likningen

\frac{π}{3} + 2 k π = \frac{π}{4} x - π ⟺ x = 8 k + \frac{16}{3}

Siden $x$ er begrenset til $[0,3 π]$ , så er det kun løsningen $x = \frac{16}{3}$ som er gyldig fra denne likningen.

Deretter kan vi sette opp

\frac{5 π}{3} + 2 k π = \frac{π}{4} x - π ⟺ x = 8 k + \frac{32}{3}

På grunn av avgresningen av $x$ , så får vi kun en gyldig løsning hvis vi velger $k = - 1$ .

x = 8 \cdot (- 1) + \frac{32}{3} = \frac{8}{3}

Likningen har løsningene $x = \frac{8}{3}$ og $x = \frac{16}{3}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som kun finner $A$ og $d$ får ingen uttelling. Kandidater som finner tre verdier kan få 1 poeng.

1 poeng for å løse likningen og finne to løsninger, og 1 poeng for å forklare hvor de ligger på figuren.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2024, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Funksjoner
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Sinusfunksjon og cosinusfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sinusfunksjon og cosinusfunksjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sinusfunksjon og cosinusfunksjon

Sinusfunksjon og cosinusfunksjon

Lov på eksamen

Temaer