Sierpiński-trekanten, som har sitt navn etter den polske matematikeren Wacław Franciszek Sierpiński (1882–1969), lages slik:

1. Vi starter med en likesidet, svart trekant som har areal $A$. Se figur 1.
2. Midtpunktet på hver av sidene i trekanten er hjørnene i en ny hvit, likesidet trekant. Denne hvite trekanten fjerner vi. Vi står da igjen med tre likesidede, svarte trekanter. Se figur 2.
3. Vi gjentar denne prosessen med hver av de svarte trekantene. Se figurene 3–5. Vi tenker oss at prosessen blir utført uendelig mange ganger. Den «gjennomhullede» figuren vi da står igjen med, kalles Sierpiński-trekanten.

Summen av arealene som fjernes (de hvite trekantene), er gitt ved rekken

$$A \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} + \frac{27}{256} + \ldots\right)$$

a)

Bestem summen av rekken ovenfor. Hva forteller svaret ditt om arealet av Sierpiński-trekanten?

b)

Sidene i trekanten i figur 1 er lik $a$.

Forklar at omkretsen av de svarte trekantene i figurene 2–5 ovenfor er henholdsvis

$$3 \cdot \frac{3}{2} \cdot a \,, \quad 3 \cdot \frac{9}{4} \cdot a \,, \quad 3 \cdot \frac{27}{8} \cdot a \quad \text{og} \quad 3 \cdot \frac{81}{16} \cdot a$$

c)

Vi gjør prosessen som forklart i trinn 2 ovenfor $n$ ganger. Forklar at omkretsen av de svarte trekantene da er lik $3 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \cdot a$.

Forklar at $3 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \cdot a \to \infty$ når $n \to \infty$.

Hva forteller dette om omkretsen til Sierpiński-trekanten?