Sidelengde og areal i firkant med trigonometri

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt firkant $A B C D$ ovenfor.

Krever PC

Vis at

C D = \frac{\sqrt{3}}{2} a

Krever PC

Vis at arealet av firkant $A B C D$ er

\frac{1}{8} a^{2} (2 \sqrt{3} + 1)

Fasit

$C D = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

$Areal = \frac{1}{8} a^{2} (2 \sqrt{3} + 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Diagonalen $B D$ (merket $a$ på figuren) deler firkanten $A B C D$ i to trekanter: den rettvinklede trekanten $B C D$ og trekanten $A B D$ .

I trekant $B C D$ er $∠ B C D = 90 °$ og $∠ B D C = 30 °$ , med hypotenus $B D = a$ .

I trekant $A B D$ er $∠ A D B = 105 °$ og $∠ A B D = 30 °$ , med $B D = a$ som motstående side til $∠ A$ .

I den rettvinklede trekanten $B C D$ er $C D$ kateten som ligger inntil vinkelen $∠ B D C = 30 °$ , mens $B D = a$ er hypotenusen. Da er

\cos (30 °) = \frac{C D}{B D} = \frac{C D}{a}

C D = a \cdot \cos (30 °) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} a

C D = \frac{\sqrt{3}}{2} a

Dermed er påstanden vist.

Areal av trekant $B C D$ . Siden $∠ C = 90 °$ , er $B C$ den andre kateten:

B C = a \cdot \sin (30 °) = \frac{1}{2} a

Arealet av en rettvinklet trekant er halvparten av produktet av katetene:

T_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot C D = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{8} a^{2}

Areal av trekant $A B D$ . Vinkelsummen gir $∠ A = 180 ° - 105 ° - 30 ° = 45 °$ . Siden $B D = a$ er motstående side til $∠ A$ , gir sinussetningen

\frac{A D}{\sin (∠ A B D)} = \frac{A B}{\sin (∠ A D B)} = \frac{B D}{\sin (∠ A)} = \frac{a}{\sin (45 °)}

Dette gir $A D = \frac{a \cdot \sin (30 °)}{\sin (45 °)}$ . Arealet av trekant $A B D$ regnes med arealsetningen ( $T = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot B D \cdot \sin (∠ A D B)$ ):

T_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot B D \cdot \sin (105 °) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a \cdot \sin (30 °)}{\sin (45 °)} \cdot a \cdot \sin (105 °) = \frac{a^{2} \sin (30 °) \sin (105 °)}{2 \sin (45 °)}

Dette utrykket ble forenklet i CAS (se utklipp under):

T_{A B D} = \frac{1}{8} a^{2} (\sqrt{3} + 1)

Totalt areal.

T_{A B C D} = T_{B C D} + T_{A B D} = \frac{\sqrt{3}}{8} a^{2} + \frac{1}{8} a^{2} (\sqrt{3} + 1) = \frac{1}{8} a^{2} (\sqrt{3} + \sqrt{3} + 1) = \frac{1}{8} a^{2} (2 \sqrt{3} + 1)

T_{A B C D} = \frac{1}{8} a^{2} (2 \sqrt{3} + 1)

Dermed er påstanden vist.

CAS-utregning: forenkling av CD, BC, arealet av trekant BCD og trekant ABD, samt kontroll av at summen stemmer med det oppgitte uttrykket

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2016, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Trigonometri, Areal og omkrets, Sinussetningen

Sidelengde og areal i firkant med trigonometri

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sidelengde og areal i firkant med trigonometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sidelengde og areal i firkant med trigonometri

Sidelengde og areal i firkant med trigonometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer