Sannsynlighet med røde og blå sykler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at $(\binom{8}{4}) = 70$

På et sykkelverksted var det en dag 8 sykler inne til reparasjon. Av disse var 4 røde, og 4 var blå. Syklene ble reparert i tilfeldig rekkefølge.

Finn sannsynligheten for at de to første syklene som blir reparert, er røde.

Før lunsj hadde verkstedet reparert 4 av syklene.

Bestem sannsynligheten for at det var 3 røde og en blå sykkel som var reparert.

Hva er sannsynligheten for at minst 3 av de 4 syklene var røde?

Fasit

$(\binom{8}{4}) = 70$ (vist)

$P = \frac{3}{14} \approx 0,214$

$P = \frac{8}{35} \approx 0,229$

$P = \frac{17}{70} \approx 0,243$

LøsningsforslagKI-generert

(\binom{8}{4}) = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70

Dette stemmer med det oppgitte tallet.

Vi trekker to sykler uten tilbakelegging blant de $8$ , der $4$ er røde. Sannsynligheten for at den første sykkelen er rød, er $\frac{4}{8}$ . Gitt at den første var rød, er sannsynligheten for at den andre også er rød, $\frac{3}{7}$ (siden det da er $3$ røde igjen av $7$ sykler).

P (begge røde) = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{12}{56} = \frac{3}{14} \approx 0,214

Vi bruker hypergeometrisk sannsynlighet. Av de $8$ syklene skal vi velge ut $4$ (de som er reparert). Antall måter å velge $3$ røde av $4$ røde og $1$ blå av $4$ blå:

(\binom{4}{3}) \cdot (\binom{4}{1}) = 4 \cdot 4 = 16

Totalt antall måter å velge $4$ sykler av $8$ er $(\binom{8}{4}) = 70$ .

P (3 røde og 1 blå) = \frac{(\binom{4}{3}) \cdot (\binom{4}{1})}{(\binom{8}{4})} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35} \approx 0,229

«Minst 3 røde» betyr enten $3$ røde og $1$ blå, eller $4$ røde og $0$ blå.

Vi har allerede funnet $P (3 røde) = \frac{16}{70}$ .

For $4$ røde og $0$ blå:

(\binom{4}{4}) \cdot (\binom{4}{0}) = 1 \cdot 1 = 1

P (4 røde) = \frac{1}{70}

Siden hendelsene er disjunkte, adderer vi sannsynlighetene:

P (minst 3 røde) = \frac{16}{70} + \frac{1}{70} = \frac{17}{70} \approx 0,243

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2008, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling

Sannsynlighet med røde og blå sykler

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sannsynlighet med røde og blå sykler

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sannsynlighet med røde og blå sykler

Sannsynlighet med røde og blå sykler

Lov på eksamen

Temaer