Sannsynlighet for kuler uten tilbakelegging

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har røde og svarte kuler i en eske. Vi skal trekke tilfeldig to kuler uten tilbakelegging. Vi definerer følgende hendelser:

$A$ : Vi trekker to kuler med ulik farge.

$B$ : Vi trekker to kuler med samme farge.

Anta at vi har 6 røde og 4 svarte kuler i esken.

Kalkulator

Bestem $P (A)$

Kalkulator

Bestem $P (B)$

Anta at vi har 6 røde og et ukjent antall svarte kuler i esken, og at hendelsene $A$ og $B$ skal ha lik sannsynlighet.

Kalkulator

Hvor mange svarte kuler kan det være i esken?

Fasit

$P (A) = \frac{8}{15}$

$P (B) = \frac{7}{15}$

$3 eller 10 svarte kuler$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $6$ røde og $4$ svarte kuler, til sammen $10$ kuler. Vi trekker to kuler uten tilbakelegging, og $A$ er hendelsen at de to kulene har ulik farge.

Sannsynligheten for å trekke én rød og én svart kule (i en av de to rekkefølgene) er

P (A) = \frac{(\binom{6}{1}) \cdot (\binom{4}{1})}{(\binom{10}{2})} = \frac{6 \cdot 4}{45} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}

$P (A) = \frac{8}{15}$

$B$ er hendelsen at de to kulene har samme farge, altså begge røde eller begge svarte. Siden $A$ og $B$ er komplementære hendelser (de to kulene har enten lik eller ulik farge), har vi

P (B) = 1 - P (A) = 1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}

Vi kan også kontrollere dette direkte:

P (B) = \frac{(\binom{6}{2}) + (\binom{4}{2})}{(\binom{10}{2})} = \frac{15 + 6}{45} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}

$P (B) = \frac{7}{15}$

Nå har vi $6$ røde kuler og $s$ svarte kuler, til sammen $6 + s$ kuler. Vi skal finne $s$ slik at $P (A) = P (B)$ .

Siden $A$ og $B$ er komplementære hendelser, betyr $P (A) = P (B)$ det samme som $P (A) = P (B) = \frac{1}{2}$ .

Sannsynligheten for hendelse $A$ (ulik farge) er

P (A) = \frac{(\binom{6}{1}) \cdot (\binom{s}{1})}{(\binom{6 + s}{2})} = \frac{6 s}{\frac{(6 + s) (5 + s)}{2}} = \frac{12 s}{(6 + s) (5 + s)}

Vi løser likningen $P (A) = \frac{1}{2}$ med CAS i GeoGebra:

CAS-løsning av likningen P(A) = 1/2

CAS gir $s = 3$ eller $s = 10$ . Begge er positive heltall og dermed gyldige svar.

$Esken kan inneholde 3 eller 10 svarte kuler.$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En fullgod besvarelse må ha med begge løsningene. Prøving og feiling kan gi noe uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2013, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Sannsynlighet for kuler uten tilbakelegging

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sannsynlighet for kuler uten tilbakelegging

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sannsynlighet for kuler uten tilbakelegging

Sannsynlighet for kuler uten tilbakelegging

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer