a) Hvis $f(a)=f(b)$ for en funksjon $f$, så er $a=b$.

Påstanden er usann.

Et moteksempel: La $f(x)=x^2$. Da er $f(-2)=4=f(2)$, men $-2\ne 2$.

Påstanden gjelder bare for injektive (én-til-én) funksjoner. En generell funksjon kan godt gi samme funksjonsverdi for to ulike innverdier.

---

b) Hvis $0<a<b$, så er $\ln a<\ln b$.

Påstanden er sann.

Logaritmefunksjonen $\ln x$ er strengt voksende for $x>0$. Det betyr at dersom $a<b$, så er $\ln a<\ln b$.

Begrunnelse: $\ln x$ er definert som den deriverte ${(\ln x)}^{\prime }=\frac{1}{x}>0$ for alle $x>0$, og en funksjon med positiv derivert overalt er strengt voksende.

Alternativt: anta $0<a<b$. Da er $\frac{b}{a}>1$, og siden $\ln$ er definert slik at $\ln t>0$ for $t>1$:

---

c) Hvis $a>0$ og $x>0$, så er ${(\ln x)}^{\prime }={(\ln (ax))}^{\prime }$.

Påstanden er sann.

Vi bruker logaritmeregelen $\ln (ax)=\ln a+\ln x$, og siden $\ln a$ er en konstant når $a>0$:

De to funksjonene skiller seg bare med en konstant ($\ln a$), og konstanter forsvinner ved derivasjon. CAS bekrefter at begge deriverte er ${\displaystyle \frac{1}{x}}$.