Ryktespredning med logistisk vekst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en bygd med $1200$ innbyggere spres et rykte. La $y$ være antall innbyggere som kjenner til ryktet ved tiden $t$ , der $t$ er tiden målt i dager etter at ryktet oppsto.

Vi antar at ryktet spres med en fart som til enhver tid er proporsjonal med produktet av antall innbyggere som kjenner ryktet, og antall innbyggere som ikke kjenner det. Proporsjonalitetskonstanten har verdien $0,0006$ .

Ved tiden $t = 0$ var det kun én person som kjente til ryktet.

For hånd

Sett opp en differensiallikning som beskriver situasjonen ovenfor.

Kalkulator

Hvor lang tid tar det før halve bygda kjenner til ryktet?

Fasit

$y^{'} = 0,0006 \cdot y (1200 - y)$

$t \approx 9,8 d a g e r$

LøsningsforslagKI-generert

Ryktet spres blant $1200$ innbyggere, og $y$ er antall som kjenner ryktet ved tiden $t$ . Da er $1200 - y$ antall som ikke kjenner ryktet.

Farten ryktet spres med, altså $y^{'}$ , er proporsjonal med produktet av $y$ (de som kjenner ryktet) og $1200 - y$ (de som ikke kjenner det), med proporsjonalitetskonstant $0,0006$ . Dette gir differensiallikningen

y^{'} = 0,0006 \cdot y (1200 - y)

Dette er en logistisk differensiallikning med bæreevne $M = 1200$ og vekstfaktor $k = 0,0006$ .

Den generelle løsningen av en logistisk differensiallikning $y^{'} = k \cdot y (M - y)$ er

y (t) = \frac{M}{1 + A \cdot e^{- k M t}}

Her er $M = 1200$ og $k M = 0,0006 \cdot 1200 = 0,72$ . Ved $t = 0$ kjente $1$ person ryktet, altså $y (0) = 1$ :

1 = \frac{1200}{1 + A} \Rightarrow A = 1199

Dette gir funksjonen

y (t) = \frac{1200}{1 + 1199 \cdot e^{- 0,72 t}}

Vi finner tidspunktet der halve bygda, altså $y = 600$ , kjenner ryktet ved å løse likningen $1199 \cdot e^{- 0,72 t} = 1$ i CAS.

Løsning i GeoGebra CAS

CAS gir $t \approx 9,85$ .

Det tar altså omtrent $9,8 d a g e r$ før halve bygda kjenner til ryktet.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2016, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Ryktespredning med logistisk vekst

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ryktespredning med logistisk vekst

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ryktespredning med logistisk vekst

Ryktespredning med logistisk vekst

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer