Renter, potensregning og sentralmål

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grete setter $10 000 k r$ i banken. Hun får $5 %$ rente (per år). Grete lar pengene stå urørt i banken i $5 år$ .

Grete vil prøve å regne ut hvor mange penger hun har i banken etter $5 år$ . Hun er litt usikker på utregningen og har satt opp tre alternativer.

I) 10000 + 5 \cdot 500 II) 10000 \cdot {1,05}^{5} III) 10000 \cdot {(1 + \frac{5}{100})}^{5}

Hvor mange penger har Grete i banken etter ett år?

Hvilket eller hvilke av alternativene I, II og III mener du hun kan bruke for å beregne beløpet etter 5 år? Begrunn valget ditt.

Regn ut: $\frac{4^{3} \cdot 4^{- 5}}{4^{2}}$ .

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig: $\frac{{(2 \cdot 10^{3})}^{2} \cdot (4,5 \cdot 10^{4})}{6 \cdot 10^{8}}$ .

Stolpediagram over poeng på matematikkprøve 24.03 for klasse A og B

Ovenfor vises resultatene på en matematikkprøve for to matematikklasser på en skole. Læreren for klasse B påstår at hans klasse hadde det beste resultatet, fordi gjennomsnittet for klasse A var $62,0$ mens gjennomsnittet for klasse B var $64,0$ (i klasse B var det en elev som fikk 0 poeng).

Læreren for klasse A er uenig. Han mener at klasse A var best.

Hvordan vil du forklare, ut fra det du har lært om sentralmål, hvorfor klasse A har gjort det bedre enn B?

Dioksin er et svært giftig stoff. Grensen for hvor stort inntak kroppen kan tåle, er satt til $3,5 \cdot 10^{- 11}$ gram per kg kroppsvekt før stoffet har giftvirkninger. Anta at en person som veier $50 k g$ , har et inntak på $1,5 \cdot 10^{- 9}$ gram dioksin. Tåler kroppen dette?

Fasit

$10 500 kr$ , alternativ II og III

$\frac{1}{256}$

$300$

Median viser at klasse A gjorde det bedre enn gjennomsnittet tyder på

$Ja, kroppen tåler inntaket$

LøsningsforslagKI-generert

1) Etter ett år har Grete fått $5 %$ rente av $10 000 kr$ :

10 000 \cdot 1,05 = 10 500 kr

Grete har $10 500 kr$ i banken etter ett år.

2) Alternativ I er feil, fordi det bare legger til den samme rentesummen ( $5 %$ av det opprinnelige beløpet) hvert år. Det gir ikke rentesrente, altså at neste års rente også regnes av tidligere års rente.

Alternativ II og III er riktige, og de er faktisk like:

1 + \frac{5}{100} = 1,05

Begge uttrykk bruker vekstfaktoren $1,05$ opphøyd i $5$ , som gir riktig rentesrente-beregning. $Grete kan bruke alternativ II eller III.$

Vi bruker potensreglene $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ og $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ :

\frac{4^{3} \cdot 4^{- 5}}{4^{2}} = \frac{4^{3 + (- 5)}}{4^{2}} = \frac{4^{- 2}}{4^{2}} = 4^{- 2 - 2} = 4^{- 4} = \frac{1}{4^{4}} = \frac{1}{256}

Vi regner ut telleren og nevneren hver for seg:

{(2 \cdot 10^{3})}^{2} = 2^{2} \cdot 10^{6} = 4 \cdot 10^{6}

4 \cdot 10^{6} \cdot 4,5 \cdot 10^{4} = 18 \cdot 10^{10} = 1,8 \cdot 10^{11}

Deretter deler vi på nevneren:

\frac{1,8 \cdot 10^{11}}{6 \cdot 10^{8}} = 0,3 \cdot 10^{3} = 300

Vi leser av antall elever på hver poengsum for klasse A og klasse B fra stolpediagrammet:

Poeng	0	10	20	40	50	60	70	80	90	100
Klasse A	0	3	2	0	4	4	6	7	3	1
Klasse B	1	0	0	5	3	8	3	2	8	0

Begge klassene har $30$ elever. Vi finner medianen ved å se på den $15.$ og $16.$ eleven når resultatene sorteres i stigende rekkefølge.

For klasse A: kumulativ sum er $3, 5, 5, 9, 13, 19, 26, 29, 30$ . Den $15.$ og $16.$ eleven ligger begge i gruppen med $70$ poeng, så medianen for klasse A er $70$ .

For klasse B: kumulativ sum er $1, 1, 1, 6, 9, 17, 20, 22, 30$ . Den $15.$ og $16.$ eleven ligger begge i gruppen med $60$ poeng, så medianen for klasse B er $60$ .

Gjennomsnittet er følsomt for ekstreme verdier (avvikere), mens medianen ikke er det. I klasse B trekker den ene eleven med $0$ poeng gjennomsnittet ned, mens flere elever med svært høy poengsum ( $90$ poeng) trekker gjennomsnittet opp igjen — dette gir et gjennomsnitt på $64,0$ som ikke nødvendigvis er representativt for en «typisk» elev i klassen.

Medianen viser derimot at over halvparten av elevene i klasse A fikk $70$ poeng eller mer, mens over halvparten av elevene i klasse B fikk $60$ poeng eller mindre. Dette betyr at den typiske eleven i klasse A faktisk gjorde det bedre enn den typiske eleven i klasse B, selv om gjennomsnittet i klasse B var høyest. $Medianen viser at klasse A gjorde det bedre enn klasse B, selv om B har høyest gjennomsnitt.$

Vi finner tålegrensen for en person på $50 kg$ :

3,5 \cdot 10^{- 11} \cdot 50 = 175 \cdot 10^{- 11} = 1,75 \cdot 10^{- 9} gram

Personens faktiske inntak er $1,5 \cdot 10^{- 9} gram$ , som er mindre enn tålegrensen $1,75 \cdot 10^{- 9} gram$ .

$Ja, kroppen tåler dette inntaket, siden 1,5 \cdot 10^{- 9} < 1,75 \cdot 10^{- 9} .$

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y E2007, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometrisk vekst, Potensregning, Standardform, Statistikk, Sentralmål

Renter, potensregning og sentralmål

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Renter, potensregning og sentralmål

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Renter, potensregning og sentralmål

Renter, potensregning og sentralmål

Lov på eksamen

Temaer