Leddene i rekken er $1,3,5,\dots ,2n-1$. Differansen mellom to påfølgende ledd er konstant:

Rekken er derfor aritmetisk med $a_1=1$ og $d=2$. Det $n$-te leddet er $a_n=2n-1$.

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

Altså er $\underline{\underline{S_n=n^2}}$.

1) Rekken $1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}}$ er geometrisk med $a_1=1$ og $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Summen av de $n$ første leddene er

Vi skal finne hvor mange ledd som minst må til for at $S_n>\mathrm{1,45}$:

Løser vi likningen $S_n=\mathrm{1,45}$ i GeoGebra CAS (se utklipp, linje 1), får vi $n\approx \mathrm{3,096}$.

Siden $S_n$ er voksende, må $n$ være et helt tall større enn $\mathrm{3,096}$. Vi sjekker:

Vi trenger dermed minst $\underline{\underline{4\text{ ledd}}}$.

2) Når $n\to \infty$, går ${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\to 0$ siden $|k|={\displaystyle \frac{1}{3}}<1$. Rekken konvergerer, og summen er

Dermed er $\underline{\underline{S={\displaystyle \frac{3}{2}}}}$.

1) Rekken $S(x)=1+{\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+\cdots$ er geometrisk med $a_1=1$ og kvotient $k={\displaystyle \frac{x}{3}}$. En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k|<1$:

Konvergensområdet er dermed $\underline{\underline{⟨-3,3⟩}}$. Summen blir

Dette bekreftes i CAS (linje 2 i utklippet over).

2) Vi løser $S(x)=4$ og $S(x)=-2$ i CAS (linje 3 og 4 i utklippet over):

For $S(x)=4$ ligger løsningen $x=\mathrm{2,25}$ innenfor konvergensområdet $⟨-3,3⟩$, så $\underline{\underline{x=\mathrm{2,25}}}$ er en gyldig løsning.

For $S(x)=-2$ er løsningen $x=\mathrm{4,5}$, men dette ligger utenfor konvergensområdet $⟨-3,3⟩$. Rekken konvergerer ikke for denne $x$-verdien, så likningen $\underline{\underline{S(x)=-2\text{ har ingen løsning}}}$.

Vi skal bevise ved induksjon at

for alle naturlige tall $n\ge 1$. Legg merke til at leddet nummer $n$ i rekken er ${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$.

Steg 1 — Basissteget. Vi sjekker at påstanden stemmer for $n=1$:

Påstanden stemmer for $n=1$.

Steg 2 — Induksjonssteget. Vi antar at påstanden er sann for $n=k$, altså at

Vi skal vise at påstanden da også er sann for $n=k+1$, altså at

Vi starter med venstre side og bruker induksjonsantakelsen på de $k$ første leddene:

Faktoriserer vi ut $(k+1)(k+2)$:

Dette er nettopp høyre side av påstanden for $n=k+1$.

Konklusjon. Siden påstanden er sann for $n=1$, og siden sannhet for $n=k$ medfører sannhet for $n=k+1$, er påstanden sann for alle naturlige tall $n\ge 1$ ved induksjonsprinsippet. $\underline{\underline{■}}$