Vi deriverer begge sider av likningen

Venstre side, ledd for ledd:

Høyre side, med kjerneregelen:

Begge sider har altså samme deriverte, ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$, for $x\in ⟨-1,1⟩$. To funksjoner med samme deriverte på et intervall er like opp til en konstant, så likningen

stemmer for en eller annen konstant $C$. Dette bekrefter (men beviser strengt tatt bare) at de to sidene kan skrives på denne formen — selve integrasjonen i oppgaveteksten viser at dette faktisk stemmer.

For å bestemme $C$ setter vi inn $x=0$: venstre side blir $0$, og høyre side blir $-\ln (1-0)+C=-\ln 1+C=0+C=C$. Dermed er $0=C$, altså

Vi setter $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ inn i likningen fra a) (med $C=0$):

Leddet ${\displaystyle \frac{1}{n}}{x}^n$ med $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ blir ${\displaystyle \frac{1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$, som gir rekken

Høyre side forenkles:

Altså

Vi lar $S(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\cdot \frac{1}{2^k}}$ være summen av de $n$ første leddene. Siden alle ledd er positive, øker $S(n)$ mot $\ln 2$ når $n$ øker.

For at $S(n)$ skal ha $6$ korrekte desimaler av $\ln 2=\mathrm{0,69314718}\dots$, må avviket være

I GeoGebra CAS defineres $S(n)$ og differansen $\ln 2-S(n)$ regnes ut for økende $n$ (se utklipp):

Fra utklippet:

Dette stemmer med at $S(16)\approx \mathrm{0,693146}\dots$ (avrundes til $\mathrm{0,693146}$, feil sjette desimal), mens $S(17)\approx \mathrm{0,693147}\dots$ (avrundes til $\mathrm{0,693147}$, riktige seks desimaler).

Vi må altså minst ta med

for å få $6$ korrekte desimaler av $\ln 2$.