Rasjonal funksjon fra asymptote og skjæringspunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = \frac{a x + b}{x + c}

Følgende opplysninger er gitt om grafen til $g$ :

Bestem funksjonsuttrykket til $g$ .

Tegn grafen til $g$ med asymptoter i et koordinatsystem.

Fasit

$g (x) = \frac{2 x - 4}{x + 1}$

Vertikal asymptote $x = - 1$ , horisontal asymptote $y = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er $g (x) = \frac{a x + b}{x + c}$ , og vi skal bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

Vertikal asymptote $x = - 1$ : Den vertikale asymptoten oppstår der nevneren er null. Vi må derfor ha

x + c = 0 for x = - 1 \Rightarrow c = 1

Funksjonsuttrykket er nå $g (x) = \frac{a x + b}{x + 1}$ .

Skjærer $y$ -aksen i $y = - 4$ : Vi setter $x = 0$ :

g (0) = \frac{a \cdot 0 + b}{0 + 1} = b = - 4 \Rightarrow b = - 4

Skjærer $x$ -aksen i $x = 2$ : Vi setter $g (2) = 0$ . Telleren må da være null:

2 a + b = 0 \Rightarrow 2 a - 4 = 0 \Rightarrow a = 2

Funksjonsuttrykket til $g$ er dermed

g (x) = \frac{2 x - 4}{x + 1}

Vertikal asymptote: Nevneren er null når $x = - 1$ , som gitt i oppgaven:

x = - 1

Horisontal asymptote: Vi utfører polynomdivisjon:

g (x) = \frac{2 x - 4}{x + 1} = \frac{2 (x + 1) - 6}{x + 1} = 2 - \frac{6}{x + 1}

Når $x \to \pm \infty$ , går $\frac{6}{x + 1} \to 0$ , slik at $g (x) \to 2$ . Horisontal asymptote:

y = 2

Grafen går gjennom skjæringspunktene $(0, - 4)$ og $(2, 0)$ og nærmer seg asymptotene:

Skisse av grafen til g med asymptoter

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2016, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftegning

Innstillinger