Vi finner vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$:

Punktene $A$, $B$ og $C$ ligger på en rett linje dersom $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ er parallelle, altså dersom det finnes et tall $k$ slik at $\overrightarrow{AC}=k\cdot \overrightarrow{AB}$. Sammenligner vi koordinatene:

Vi får ulik $k$-verdi for første og andre koordinat, så $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ er ikke parallelle. Dermed ligger ikke $A$, $B$ og $C$ på en rett linje, og punktene bestemmer entydig et plan $\alpha$ ifølge setningen i oppgaveteksten.

Et plan er entydig bestemt av et punkt og en normalvektor. Vi bruker $A$ som punkt i planet, og finner normalvektoren $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$:

Med $\overrightarrow{AB}=(a_1,a_2,a_3)$ og $\overrightarrow{AC}=(b_1,b_2,b_3)$ er kryssproduktet

Planlikningen får vi ved å sette inn normalvektoren og punktet $A(\mathrm{4,3,1})$:

Dette er beregnet og forenklet i GeoGebra CAS:

Forenklet gir dette planlikningen

Vi kontrollerer at alle tre punktene ligger i planet: for $A(\mathrm{4,3,1})$: $2\cdot 4-3\cdot 3-1+2=8-9-1+2=0$. Tilsvarende stemmer for $B$ og $C$.

Volumet av en pyramide med toppunkt $T$ og grunnflate-triangel $ABC$ er gitt ved

der $\overrightarrow{n}=(2,-3,-1)$ er normalvektoren til planet $\alpha$ fra oppgave b).

Vi finner $\overrightarrow{AT}$:

Skalarproduktet blir

Volumet skal være 3, så vi løser likningen

Dette er løst i GeoGebra CAS (samme skjermbilde som over):

CAS gir $t=-7$ eller $t=2$. Vi kontrollerer for hånd:

Volumet av pyramiden $ABCT$ blir altså 3 for