Polynomfunksjon potensforenkling logaritmer og ulikheter S1 V10

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt polynomfunksjonen $f (x) = 2 x^{3} - x^{2}$ .

Regn ut $f (1)$ og $f^{'} (1)$ .

Bruk 1) til å beskrive hvordan grafen til $f$ ser ut i et lite område rundt punktet som har førstekoordinat $x = 1$ .

Skriv så enkelt som mulig:

{(a - b)}^{2} + (a + b) (a - b)

\frac{a^{2} \cdot {(a \cdot b^{2})}^{2}}{{(a^{2})}^{3} \cdot b^{3}}

\lg (a^{2} \cdot b) + \lg (\frac{1}{a \cdot b})

Løs likningene:

3 \cdot 10^{3 x} = 3000

2 \lg x - \lg (\frac{1}{x}) = 6

Løs ulikheten

- 3 (x + 1) (x - 2) > 0

Fasit

$f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 4$ . Grafen er stigende og ganske bratt nær $x = 1$ .

1) $2 a^{2} - 2 a b$ 2) $\frac{b}{a^{2}}$ 3) $\lg a$

1) $x = 1$ 2) $x = 100$

$- 1 < x < 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $f (x) = 2 x^{3} - x^{2}$ , som gir $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x$ .

f (1) = 2 \cdot 1^{3} - 1^{2} = 2 - 1 = 1

f^{'} (1) = 6 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4

Siden $f^{'} (1) = 4 > 0$ , er $f$ voksende i $x = 1$ . Grafen går altså gjennom punktet $(1, 1)$ og stiger ganske bratt der, med stigningstall $4$ .

{(a - b)}^{2} + (a + b) (a - b) = (a^{2} - 2 a b + b^{2}) + (a^{2} - b^{2}) = 2 a^{2} - 2 a b

\frac{a^{2} \cdot {(a \cdot b^{2})}^{2}}{{(a^{2})}^{3} \cdot b^{3}} = \frac{a^{2} \cdot a^{2} b^{4}}{a^{6} b^{3}} = \frac{a^{4} b^{4}}{a^{6} b^{3}} = a^{4 - 6} \cdot b^{4 - 3} = a^{- 2} \cdot b = \frac{b}{a^{2}}

\lg (a^{2} \cdot b) + \lg (\frac{1}{a \cdot b}) = \lg (a^{2} \cdot b \cdot \frac{1}{a \cdot b}) = \lg (a)

3 \cdot 10^{3 x} = 3000

Vi deler begge sider med $3$ :

10^{3 x} = 1000 = 10^{3}

Siden grunntallene er like, må eksponentene være like:

3 x = 3 \Rightarrow x = 1

2 \lg x - \lg (\frac{1}{x}) = 6

Vi bruker regelen $\lg (\frac{1}{x}) = - \lg x$ :

2 \lg x - (- \lg x) = 6 \Rightarrow 2 \lg x + \lg x = 6 \Rightarrow 3 \lg x = 6

\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^{2} = 100

- 3 (x + 1) (x - 2) > 0

Vi deler begge sider med $- 3$ . Siden vi deler med et negativt tall, snur ulikhetstegnet:

(x + 1) (x - 2) < 0

Nullpunktene til uttrykket er $x = - 1$ og $x = 2$ . Vi lager et fortegnsskjema for $(x + 1)$ og $(x - 2)$ :

Fortegnslinje for (x+1)(x-2)

Produktet er negativt når $- 1 < x < 2$ . Dette er løsningen av ulikheten:

- 1 < x < 2

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2010, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Polynomfunksjoner, Potenser, Logaritmer, Likninger, Ulikheter

Innstillinger