Polynomdivisjon og grenseverdi for tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6

Vis at $(x - 2)$ er en faktor i $P (x)$ .

Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere $P (x)$ med lineære faktorer.

Bestem $\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x - 2}$

Fasit

$P (2) = 0$ , altså er $(x - 2)$ en faktor

$P (x) = (x - 2) (x + 1) (x + 3)$

$15$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 2$ inn i $P (x)$ . Er $(x - 2)$ en faktor, skal $P (2) = 0$ .

P (2) = 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 - 6 = 8 + 8 - 10 - 6 = 0

Siden $P (2) = 0$ , er $(x - 2)$ en faktor i $P (x)$ .

Vi utfører polynomdivisjon av $P (x)$ med $(x - 2)$ .

(x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6) : (x - 2) = x^{2} + 4 x + 3

\begin{matrix} x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 & - (x^{3} - 2 x^{2}) = 4 x^{2} - 5 x - 6 \\ 4 x^{2} - 5 x - 6 & - (4 x^{2} - 8 x) = 3 x - 6 \\ 3 x - 6 & - (3 x - 6) = 0 \end{matrix}

Dermed er $P (x) = (x - 2) (x^{2} + 4 x + 3)$ .

Andregradsuttrykket $x^{2} + 4 x + 3$ faktoriseres videre. Vi trenger to tall med produkt $3$ og sum $4$ , som er $1$ og $3$ :

x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)

Dermed er

P (x) = (x - 2) (x + 1) (x + 3)

Vi setter inn faktoriseringen fra b) i brøken:

\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 1) (x + 3)

Siden $x \neq 2$ i grenseovergangen, kan vi forkorte bort faktoren $(x - 2)$ . Deretter setter vi inn $x = 2$ :

\lim_{x \to 2} (x + 1) (x + 3) = (2 + 1) (2 + 3) = 3 \cdot 5 = 15

\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x - 2} = 15

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2015, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Grenseverdi

Innstillinger