Siden $A$ og $B$ ligger i planet $\alpha$, ligger vektoren $\overrightarrow{AB}$ i planet, og må derfor stå normalt på ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }$.

Skalarproduktet ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }\cdot \overrightarrow{AB}=0$ gir

Dette gir ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=[2,1,-2]$. Planet har da likning

Vi setter inn punktet $A(1,-4,1)$ for å finne $d$:

Dette viser at planet $\alpha$ er gitt ved

Planet skjærer $z$-aksen der $x=0$ og $y=0$:

Volumet av pyramiden $ABCO$ finner vi med formelen

der $\overrightarrow{OA}=(1,-4,1)$, $\overrightarrow{OB}=(3,0,5)$ og $\overrightarrow{OC}=(0,0,2)$.

Vi finner først kryssproduktet:

Deretter skalarproduktet:

Kula har sentrum i origo $O$ og tangerer planet $\alpha$ i punktet $P$. Punktet $P$ er da fotpunktet for normalen fra $O$ ned på planet, altså punktet vi når ved å bevege oss fra $O$ langs normalvektoren ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=(2,1,-2)$.

En parameterframstilling for normallinja gjennom $O$ er

Vi setter dette inn i planlikningen for å finne $t$:

Dette gir koordinatene til $P$: