Pascals trekant og binomialkoeffisienter S1 H10

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For hånd

Rad nummer 0, 1 og 2 i Pascals trekant er

\begin{matrix} 1 \\ 1 1 \\ 1 2 1 \end{matrix}

Skriv opp de tre neste radene.

For hånd

Bruk Pascals trekant til å bestemme binomialkoeffisientene

(\binom{3}{0}), (\binom{4}{1}), (\binom{4}{3}) og (\binom{5}{5})

For rad nummer $n$ i Pascals trekant gjelder følgende sammenheng:

(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + \dots + (\binom{n}{n}) = 2^{n}

For hånd

Vis at dette stemmer for rad nummer 0, 1, 2, 3, 4 og 5. Finn summen av binomialkoeffisientene i rad nummer 10.

Fasit

Rad 3: $1 3 3 1$ ; rad 4: $1 4 6 4 1$ ; rad 5: $1 5 10 10 5 1$

$(\binom{3}{0}) = 1, (\binom{4}{1}) = 4, (\binom{4}{3}) = 4, (\binom{5}{5}) = 1$

$Radsum for n = 10 er 1024$

LøsningsforslagKI-generert

Hver rad i Pascals trekant lages ved at hvert tall er summen av de to tallene rett over seg (med $1$ i hver ende av raden).

Rad 2 er $1 2 1$ . Vi bruker den til å lage rad 3:

1 \underset{3}{\underset{⏟}{1 + 2}} \underset{3}{\underset{⏟}{2 + 1}} 1

Rad 3: 1 3 3 1

Deretter bruker vi rad 3 til å lage rad 4:

1 \underset{4}{\underset{⏟}{1 + 3}} \underset{6}{\underset{⏟}{3 + 3}} \underset{4}{\underset{⏟}{3 + 1}} 1

Rad 4: 1 4 6 4 1

Til slutt bruker vi rad 4 til å lage rad 5:

1 \underset{5}{\underset{⏟}{1 + 4}} \underset{10}{\underset{⏟}{4 + 6}} \underset{10}{\underset{⏟}{6 + 4}} \underset{5}{\underset{⏟}{4 + 1}} 1

Rad 5: 1 5 10 10 5 1

Tallet $(\binom{n}{k})$ finnes i rad nummer $n$ , som det $(k + 1)$ -te tallet (siden telling av tallene i raden starter på $k = 0$ ).

(\binom{3}{0}) = 1, (\binom{4}{1}) = 4, (\binom{4}{3}) = 4, (\binom{5}{5}) = 1

Vi summerer tallene i hver av radene 0 til 5:

n = 0 : 1 = 2^{0} = 1

n = 1 : 1 + 1 = 2 = 2^{1}

n = 2 : 1 + 2 + 1 = 4 = 2^{2}

n = 3 : 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^{3}

n = 4 : 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}

n = 5 : 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}

Sammenhengen $(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + \dots + (\binom{n}{n}) = 2^{n}$ stemmer altså for $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ .

For rad nummer 10 blir summen dermed

(\binom{10}{0}) + (\binom{10}{1}) + \dots + (\binom{10}{10}) = 2^{10} = 1024

Vi kontrollerer dette med GeoGebra CAS:

Summen av binomialkoeffisientene i rad 10 er 1024

Begge uttrykkene, $\sum_{k = 0}^{10} (\binom{10}{k})$ og $2^{10}$ , gir $1024$ .

Summen av binomialkoeffisientene i rad 10 er 1024

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2010, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Binomisk fordeling

Innstillinger