Posisjonsvektoren er $\overrightarrow{r}(t)=[\cos t,3\sin t,2-\cos 2t]$, og farten til partikkelen er lengden av fartsvektoren ${\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)$.

Vi deriverer:

For $t=\pi$:

Banefarten er

Svar: $\underline{\underline{v=3}}$

Planet $\alpha$ har likning $3x+y+5z=d$, altså normalvektor $\overrightarrow{n}=[\mathrm{3,1,5}]$.

Der kurven $\overrightarrow{r}(t)$ tangerer planet, berører den planet uten å krysse gjennom det. Det betyr at tangentvektoren ${\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)$ til kurven i tangeringspunktet ligger i planet, altså er parallell med planet — og dermed vinkelrett på planets normalvektor $\overrightarrow{n}$. Derfor må

i de fire tangeringspunktene.

(Alternativt: la $g(t)=3x(t)+y(t)+5z(t)$ være verdien av $d$ langs kurven. I et tangeringspunkt har $g$ et lokalt ekstremalpunkt, så $g^{\prime }(t)={\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)\cdot [\mathrm{3,1,5}]=0$ der.)

Vi setter opp skalarproduktet fra b):

Likningen som skal løses blir dermed

Vi løser likningen numerisk i CAS. I utklippet under ser du hele utregningen: linje 2 gir ${\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)$, linje 3 og 4 svaret på a), linje 5 skalarproduktet ovenfor, og linje 6–9 setter hver av de fire $t$-verdiene inn i $\overrightarrow{r}(t)$.

Det gir fire løsninger:

Punktene finnes ved å sette hver $t$-verdi inn i $\overrightarrow{r}(t)=[\cos t,3\sin t,2-\cos 2t]$.

Svar: $\underline{\underline{(\mathrm{0,13},\mathrm{2,97},\mathrm{2,97}),(-\mathrm{0,99},-\mathrm{0,39},\mathrm{1,03}),(\mathrm{0,18},-\mathrm{2,95},\mathrm{2,94}),(\mathrm{0,98},-\mathrm{0,53},\mathrm{1,06})}}$