Vi finner en normalvektor til $\beta$ ved å bruke to vektorer i planet, utspent av punktene $A(\mathrm{0,0,4})$, $B(\mathrm{2,0,0})$ og $C(\mathrm{1,1,4})$:

Normalvektoren $\overrightarrow{n_{\beta }}$ finnes med kryssproduktet:

Vi forkorter med $2$: $\overrightarrow{n_{\beta }}=(2,-2,1)$.

Planlikningen finnes ved å sette inn punktet $A(\mathrm{0,0,4})$:

Kontroll med $B(\mathrm{2,0,0})$: $2\cdot 2-2\cdot 0+0-4=0$ ✓, og med $C(\mathrm{1,1,4})$: $2-2+4-4=0$ ✓.

Normalvektoren til $\alpha :2x-2y+z+2=0$ er $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2,-2,1)$, altså den samme som $\overrightarrow{n_{\beta }}$. Siden planene har parallelle normalvektorer og ikke er identiske (ulik konstantledd), er

Siden planene er parallelle, kan vi bruke avstandsformelen fra et punkt i det ene planet (f.eks. $A(\mathrm{0,0,4})\in \beta$) til det andre planet $\alpha$:

GeoGebra CAS bekrefter utregningen (se utklipp):

Avstanden mellom planene er $\underline{\underline{d=2}}$.

Siden $l$ går gjennom tangeringspunktene og er vinkelrett på begge de parallelle planene, må retningsvektoren til $l$ være normalvektoren $\overrightarrow{n}=(2,-2,1)$. Linjen går gjennom $P(5,-1,4)$, og parameterframstillingen blir

Punktene $D$ og $E$ er skjæringspunktene mellom $l$ og henholdsvis $\alpha$ og $\beta$. Vi setter parameterframstillingen inn i planlikningene og løser med hensyn på $t$, med GeoGebra CAS:

Skjæring med $\alpha$:

Skjæring med $\beta$:

Tangeringspunktene er $\underline{\underline{D(1,3,2)}}$ og $\underline{\underline{E({\displaystyle \frac{7}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{8}{3}})}}$.

Siden kula er tangent til begge planene i $D$ og $E$, og sentrum $S$ ligger på linjen $l$ gjennom begge tangeringspunktene, må $S$ være midtpunktet på strekningen $DE$:

Radien er avstanden fra $S$ til $D$ (eller halve avstanden mellom planene, $\frac{2}{2}=1$):

Kulas likning blir dermed