Når grafen til $f$ roteres om $x$-aksen, er volumet av omdreiingslegemet gitt ved

Vi regner ut integralet med CAS.

Dette gir

For at omdreiingslegemet skal få plass i kjegla, er det nødvendig at legemets radius, altså $f(x)$, aldri er større enn kjeglens største radius $4$ for noen $x$ i $D_f$.

Vi undersøker dette grafisk ved å tegne $f$ sammen med linja $y=4$ på intervallet $⟨\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}⟩$.

Grafen viser at $f$ har et minimum i $x=\frac{\pi }{3}$, med verdi $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\approx \mathrm{1,73}$, og deretter vokser mot høyre randpunkt. Ved $x=\frac{3\pi }{4}$ er

Siden $D_f=⟨\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}⟩$ er et åpent intervall, blir denne verdien aldri nådd — $f(x)<2\sqrt{2}+1\approx \mathrm{3,83}<4$ for alle $x$ i $D_f$. I tillegg er volumet av omdreiingslegemet mindre enn volumet av kjegla:

Disse to observasjonene er imidlertid bare nødvendige betingelser for at legemet skal få plass — de er ikke tilstrekkelige. En kjegle smalner av mot spissen, så det avgjørende er ikke om legemets maksradius er under kjeglens største radius, eller om legemets totale volum er mindre enn kjeglens: det avgjørende er om kjeglens radius er større enn legemets radius $f(x)$ i hver eneste høyde langs aksen. Et legeme kan godt ha lite volum og liten maksradius, og likevel stikke utenfor en kjegle som er svært spiss et annet sted.

Vi må derfor sammenligne $f(x)$ med kjeglens radius som funksjon av $x$ — altså mantellinja til kjegla. Vi plasserer kjegla slik at den vide enden (radius $4$) ligger i randpunktet $x=\frac{3\pi }{4}$, der $f$ er størst, og spissen ligger et stykke til venstre for dette. Kjeglas høyde $h$ finner vi fra volumformelen:

Spissen ligger dermed i $x=\frac{3\pi }{4}-h\approx -\mathrm{0,33}$, og mantellinja — kjeglens radius $m(x)$ som funksjon av $x$ — er den rette linja gjennom punktene $(\frac{3\pi }{4}-h,0)$ og $(\frac{3\pi }{4},4)$:

Vi tegner $f$ og $m$ sammen for å se om $f(x)\le m(x)$ for alle $x$ i $D_f$.

Grafen viser at linjene skjærer hverandre i $x_0\approx \mathrm{0,86}$. For $x$ mellom venstre randpunkt $\frac{\pi }{4}\approx \mathrm{0,79}$ og $x_0\approx \mathrm{0,86}$ ligger $f(x)$ over $m(x)$ — for eksempel ved venstre randpunkt:

Her er altså legemets radius større enn kjeglens radius i samme høyde, selv om $f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ ligger godt under kjeglens maksimale radius $4$. Omdreiingslegemet stikker dermed utenfor kjegla nær venstre endepunkt, og det får ikke plass i kjegla — til tross for at både maksradius og totalvolum isolert sett er mindre enn kjeglens.