Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26

Graf til f

I koordinatsystemet ovenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 2 x - 1

Et omdreiningslegeme framkommer ved at grafen til $f$ fra $x = 1$ til $x = 3$ dreies $360 °$ rundt førsteaksen.

Regn ut volumet til omdreiningslegemet.

Fasit

$V = \frac{62 π}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Volumet av et omdreiningslegeme dannet ved å dreie grafen til $f$ fra $x = a$ til $x = b$ rundt $x$ -aksen er gitt ved

V = π \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x

Vi setter inn $f (x) = 2 x - 1$ , $a = 1$ og $b = 3$ :

V = π \int_{1}^{3} {(2 x - 1)}^{2} d x

Vi ekspanderer kvadratet:

{(2 x - 1)}^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1

Dermed blir integralet:

\begin{matrix} V & = π \int_{1}^{3} (4 x^{2} - 4 x + 1) d x \\ = π {[\frac{4 x^{3}}{3} - 2 x^{2} + x]}_{1}^{3} \end{matrix}

Vi beregner antiderivativet i grensene:

\begin{matrix} {[\frac{4 x^{3}}{3} - 2 x^{2} + x]}_{1}^{3} & = (\frac{4 \cdot 27}{3} - 2 \cdot 9 + 3) - (\frac{4}{3} - 2 + 1) \\ = (36 - 18 + 3) - (\frac{4}{3} - 1) \\ = 21 - \frac{1}{3} \\ = \frac{63}{3} - \frac{1}{3} \\ = \frac{62}{3} \end{matrix}

Dermed er

𝐕 = 𝛑 \cdot \frac{𝟔𝟐}{𝟑} = \frac{𝟔𝟐 𝛑}{𝟑}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidater som har riktig strategi, men som får feil volum kan få 1 poeng. Kandidater som finner riktig volum ved å se på differansen mellom to kjegler får full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2026, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Omdreiningslegeme, Volum, Integrasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26

Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26

Lov på eksamen

Temaer