Nullpunkter og toppunkter som rekker for dempet sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi vil studere flere egenskaper ved funksjonen

f (x) = 5 e^{- 0,2 x} \cdot (\sin x + \cos x)

når definisjonsmengden er $⟨ 0, \to ⟩$ .

For hånd

Forklar at det $n$ -te nullpunktet til $f$ kan skrives på formen

x_{n} = 2,356 + (n - 1) \cdot π

der $n \geq 1$

Kalkulator

Hva slags tallfølge danner nullpunktene? Hvor mange nullpunkter får vi hvis $x \in ⟨ 0, 30 ⟩$ ?

For hånd

De tre første funksjonsverdiene til toppunktene på grafen til $f$ er gitt i oppgave 4 d). Alle disse danner også en tallfølge. Vis at denne tallfølgen er geometrisk, og finn det femte leddet i tallfølgen.

Vi summerer $y$ -koordinatene til alle toppunktene til høyre for origo.

Kalkulator

Vil den rekken vi får, konvergere når $x \to \infty$ ? Finn eventuelt summen av den uendelige rekken.

Fasit

Se løsningsforslag

Aritmetisk tallfølge med $d = π$ ; $9 nullpunkter$

Geometrisk følge med kvotient $k = e^{- 0,4 π} \approx 0,2846$ ; femte ledd $\approx 0,0404$

Rekken konvergerer; $S \approx 8,62$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å finne den deriverte av $f$ og til å løse likningene som bestemmer null- og ekstremalpunktene.

CAS: nullpunktlikning, derivert og ekstremallikning

Siden $e^{- 0,2 x} > 0$ for alle $x$ , er

f (x) = 0 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0.

Vi kan ikke ha $\cos x = 0$ og $\sin x + \cos x = 0$ samtidig (det ville gitt $\sin x = 0$ også, umulig for samme $x$ ), så vi kan dele på $\cos x$ :

\sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{4} + k π, k \in ℤ .

Dette bekreftes av CAS-utregningen: $Løs (\sin x + \cos x = 0) \Rightarrow x = k_{1} π + \frac{3}{4} π$ .

Siden $\frac{3 π}{4} \approx 2,356$ , og løsningene ligger med konstant avstand $π$ mellom hverandre, får det $n$ -te positive nullpunktet ( $n \geq 1$ , dvs. $k = n - 1$ ) formen

x_{n} = 2,356 + (n - 1) \cdot π .

Nullpunktene $x_{n} = 2,356 + (n - 1) \cdot π$ har konstant differanse $d = π$ mellom påfølgende ledd, så de danner en aritmetisk tallfølge med $a_{1} = 2,356$ og $d = π$ .

Vi finner hvor mange nullpunkter som ligger i $⟨ 0, 30 ⟩$ ved å løse

2,356 + (n - 1) π < 30 \Leftrightarrow n < 1 + \frac{30 - 2,356}{π} \approx 9,80.

Siden $n$ må være et heltall, får vi $n = 1, 2, \dots, 9$ . Vi sjekker: $x_{9} = 2,356 + 8 π \approx 27,49 < 30$ , mens $x_{10} = 2,356 + 9 π \approx 30,63 > 30$ .

Dette gir $9 nullpunkter$ i $⟨ 0, 30 ⟩$ .

Den deriverte er (se CAS, linje 3, forenklet)

f^{'} (x) = e^{- 0,2 x} (4 \cos x - 6 \sin x) .

Siden $e^{- 0,2 x} \neq 0$ , gir $f^{'} (x) = 0$ likningen $4 \cos x = 6 \sin x$ , altså $\tan x = \frac{2}{3}$ . CAS gir

x = k π + \tan^{- 1} (\frac{2}{3}), k \in ℤ, \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \approx 0,588.

Ekstremalpunktene ligger altså med avstand $π$ mellom seg, men de veksler mellom toppunkt og bunnpunkt (funksjonsverdien skifter fortegn for hver $π$ , siden $\sin x + \cos x$ skifter fortegn). Toppunktene (positive funksjonsverdier) tilsvarer derfor annethvert ekstremalpunkt, med $x$ -koordinater

x_{0} = 0,588 + 2 m π, m = 0, 1, 2, \dots

Vi setter inn i $f$ (se r2-v10-2-5-numerisk.png) og får de tre første toppunktverdiene

y_{1} = f (x_{0}) \approx 6,164, y_{2} = f (x_{0} + 2 π) \approx 1,754, y_{3} = f (x_{0} + 4 π) \approx 0,499.

Numerisk utregning av toppunktverdier

Kvotienten mellom to påfølgende toppunktverdier er generelt

\frac{y_{m + 1}}{y_{m}} = \frac{f (x_{0} + 2 (m + 1) π)}{f (x_{0} + 2 m π)} = \frac{e^{- 0,2 (x_{0} + 2 (m + 1) π)}}{e^{- 0,2 (x_{0} + 2 m π)}} = e^{- 0,4 π} \approx 0,2846,

siden $\sin x + \cos x$ har periode $2 π$ og altså er lik i teller og nevner. Kvotienten er dermed konstant og uavhengig av $m$ , så tallfølgen av toppunktverdier er geometrisk med kvotient

k = e^{- 0,4 π} \approx 0,2846.

Det femte leddet blir

y_{5} = y_{1} \cdot k^{4} \approx 6,164 \cdot {0,2846}^{4} \approx 0,0404 .

Rekken av $y$ -koordinater til alle toppunktene til høyre for origo er en geometrisk rekke med $a_{1} = y_{1} \approx 6,164$ og kvotient $k = e^{- 0,4 π} \approx 0,2846$ .

Siden $| k | < 1$ , konvergerer rekken når $x \to \infty$ , og summen er

S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{6,164}{1 - 0,2846} \approx 8,62 .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2010, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Rekker, Tallfølger, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens

Nullpunkter og toppunkter som rekker for dempet sinusfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Nullpunkter og toppunkter som rekker for dempet sinusfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Nullpunkter og toppunkter som rekker for dempet sinusfunksjon

Nullpunkter og toppunkter som rekker for dempet sinusfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer