Når en muffinsform faller, vil farten $y$ (i meter per sekund) til muffinsformen $x$ sekunder etter at den ble sluppet, tilfredsstille differensiallikningen

$$y' = 9{,}81\left(1 - \frac{y^2}{k^2}\right), \quad y(0) = 0$$

Kort tid etter at muffinsformen ble sluppet, vil den få tilnærmet konstant fart. Denne farten kalles muffinsformens terminalfart $v_a$.

a)

Begrunn at $k^2 = v_a^2$.

For en type muffinsformer vil $v_a = 1{,}8 \text{ m/s}$.

b)

Bruk CAS til å vise at farten $y$ for denne typen muffinsformer er gitt ved

$$y(x) = \frac{9}{5} \cdot \left(\frac{1 - e^{-10{,}9x}}{1 + e^{-10{,}9x}}\right)$$

Strekningen $s$ muffinsformen har beveget seg i løpet av de $t$ første sekundene etter at den er sluppet, er gitt ved

$$s(t) = \int_0^t y(x)\,\mathrm{d}x$$

c)

Hvor lang tid vil det gå fra du slipper en muffinsform av denne typen, til den har falt 12 meter?

Når du slipper en annen type muffinsform, tar det $4{,}7$ sekunder fra den slippes, til den har falt 12 meter.

d)

Bestem terminalfarten til denne typen muffinsform.