Mopedbil differensiallikning og toppfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En mopedbil blir drevet av en motor som gir en konstant kraft $F = 250 N$ (newton).

Bilens fart $v$ (i m/s) kan beskrives med differensiallikningen

350 v^{'} = F - 10 v

Kalkulator

Finn et uttrykk $v (t)$ for farten $t$ sekunder etter at mopedbilen begynner å bevege seg.

Kalkulator

Hva er den største farten mopedbilen kan oppnå?

Bilprodusenten ønsker at mopedbilen skal ha en toppfart på 60 km/h.

Kalkulator

Hva må motorkraften $F$ være dersom mopedbilen skal ha denne toppfarten?

Fasit

$v (t) = 25 (1 - e^{- \frac{t}{35}})$

$v_{\max} = 25 m / s$

$F = \frac{500}{3} \approx 166,7 N$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen er

350 v^{'} = 250 - 10 v

Vi løser med separasjon av variable. Skriver om til

\frac{d v}{d t} = \frac{250 - 10 v}{350} = \frac{25 - v}{35}

Separerer $v$ og $t$ :

\frac{d v}{25 - v} = \frac{d t}{35}

Integrerer på begge sider:

- \ln | 25 - v | = \frac{t}{35} + C

Bruker startbetingelsen $v (0) = 0$ :

- \ln 25 = C

Setter inn og løser for $v$ :

- \ln | 25 - v | = \frac{t}{35} - \ln 25 \Rightarrow \ln | 25 - v | = \ln 25 - \frac{t}{35}

25 - v = 25 e^{- \frac{t}{35}}

v (t) = 25 (1 - e^{- \frac{t}{35}})

CAS bekrefter løsningen ved å sette $v (t)$ inn i differensiallikningen (linje 2 i utklippet gir $0$ ):

Løsning av differensiallikningen i CAS

Når $t \to \infty$ går $e^{- \frac{t}{35}} \to 0$ , så

v (t) \to 25 (1 - 0) = 25

Alternativt kan man sette $v^{'} = 0$ direkte i differensiallikningen:

0 = 250 - 10 v \Rightarrow v = 25

Mopedbilens toppfart er derfor

v_{\max} = 25 m / s

Toppfarten $60 km/h$ regnes om til $m/s$ :

60 km/h = \frac{60000}{3600} m / s = \frac{50}{3} m / s \approx 16,7 m / s

Toppfarten oppnås når $v^{'} = 0$ , altså når $F = 10 v_{\max}$ . Setter $v_{\max} = \frac{50}{3}$ :

F = 10 \cdot \frac{50}{3} = \frac{500}{3}

Se linje 4 i CAS-utklippet over, som bekrefter $F = \frac{500}{3}$ .

Motorkraften må dermed være

F = \frac{500}{3} \approx 166,7 N

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Mopedbil differensiallikning og toppfart

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Mopedbil differensiallikning og toppfart

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Mopedbil differensiallikning og toppfart

Mopedbil differensiallikning og toppfart

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer