Makspuls og lineær regresjon
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Ingen av deloppgavene kan løses helt uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
Alternativ I
For å legge opp et effektivt treningsprogram er det lurt at du kjenner makspulsen din (den høyeste hjertefrekvensen du kan oppnå).
Den nøyaktigste måten å finne makspulsen på, er å gjennomføre en fysisk test. Det betyr i praksis å presse seg maksimalt for å se hvor høy puls det er mulig å oppnå. 5 personer har gjennomført en slik test. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.
| Alder | 17 | 25 | 37 | 48 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|
| Makspuls | 195 | 189 | 183 | 175 | 166 |
Bruk regresjon og vis at er en matematisk modell som viser sammenhengen mellom alder og makspuls dersom en tar utgangspunkt i datamaterialet ovenfor. Tegn grafen til i et koordinatsystem. Bruk -verdier fra 150 til 220.
En forenklet metode for å finne en tilnærmet verdi for makspulsen din er å bruke formelen
Finn et funksjonsuttrykk som illustrerer denne sammenhengen mellom alder og makspuls. Tegn grafen til i samme koordinatsystem som grafen til .
De to modellene og gir litt ulike verdier for makspuls for hvert alderstrinn. Studer modellene i området fra og med til og med .
For hvilket alderstrinn er forskjellen mellom makspuls minst, og for hvilket alderstrinn er den størst?
Fasit
Minst forskjell ved , størst forskjell ved
LøsningsforslagKI-generert
Vi legger datapunktene , , , og inn i et regresjonsverktøy og utfører lineær regresjon. Det gir
Når vi avrunder koeffisientene, får vi
som stemmer med modellen oppgaven ber oss vise.
Grafen til er tegnet som den blå linja i figuren under (se b for full figur med begge grafene).
Den forenklede formelen er
Setter vi for alder og for makspuls, får vi funksjonsuttrykket
Grafene til (blå) og (grønn) er tegnet sammen med datapunktene (røde) i koordinatsystemet under, med -verdier fra til .
Vi ser på differansen mellom de to modellene på intervallet :
Dette er en strengt voksende lineær funksjon, så differansen går fra negativ til positiv når øker. Vi regner ut differansen for noen alderstrinn i intervallet:
| $x$ | 15 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)-g(x)$ | $-8{,}60$ | $-6{,}91$ | $-3{,}51$ | $-0{,}12$ | $3{,}28$ | $6{,}67$ |
Tallverdien til differansen er minst der , altså der
Forskjellen mellom modellene er dermed minst ved omtrent .
Siden differansen er en lineær (voksende) funksjon av , har tallverdien sin største verdi i et av endepunktene av intervallet . Vi sammenligner:
Størst tallverdi finner vi altså ved , der forskjellen mellom modellene er
Tolkning: For en 15-åring gir de to modellene mest ulike anslag på makspuls, mens de to modellene stemmer nesten overens for en person på rundt 41 år.