Lineær optimering av to varesproduksjon S1 H12

Del 2, alle hjelpemidler

Lineær optimering av to varesproduksjon S1 H12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer x enheter av en vare A og y enheter av en annen vare B. Bedriften har funnet ut at det er følgende begrensninger i forbindelse med produksjonen:

3x+9y≤132
4x+2y≥50
2x+3y≥44
5y−4≥x
Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Lag et koordinatsystem og marker på figuren det området som er avgrenset av de fire ulikhetene.

Bedriften regner med at vare A kan selges for 840,00 kroner per enhet, mens vare B kan selges for 1 500,00 kroner per enhet.

Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Hvor mange enheter bør produseres og selges av hvert vareslag dersom salgsinntekten skal bli størst mulig? Hvor stor er den maksimale inntekten bedriften kan oppnå?

Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Vis at bedriften er sikret en minsteinntekt på 19 440,00 kroner.

Fasit

Se figur i løsningsforslaget.

x=26,y=6,Imax⁡=30840kr

Minste inntekt er 19440kr, i hjørnepunktet (16,4).

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler de fire ulikhetene før vi tegner dem:

3x+9y≤132⇒x+3y≤44
4x+2y≥50⇒2x+y≥25
2x+3y≥44
5y−4≥x⇒x≤5y−4

Vi tegner de fire grenselinjene i et koordinatsystem og finner skjæringspunktene mellom linjene. Ved å sjekke hvilken side av hver linje som oppfyller ulikheten, finner vi at det gjennomførbare området er en firkant med hjørnepunktene

A=(6,2,12,6),B=(7,75,9,5),C=(16,4),D=(26,6)

Gjennomførbart område med hjørnepunkter

Det blåfargede området på figuren viser mengden av alle (x,y) som oppfyller alle de fire ulikhetene samtidig.

Salgsinntekten er gitt ved

I(x,y)=840x+1500y

Siden I er en lineær funksjon av x og y, vet vi at maksimums- og minimumsverdien til I over det gjennomførbare området må ligge i et av hjørnepunktene i figuren fra a). Vi setter derfor inn koordinatene til hvert hjørnepunkt:

I(A)=840⋅6,2+1500⋅12,6=24108kr
I(B)=840⋅7,75+1500⋅9,5=20760kr
I(C)=840⋅16+1500⋅4=19440kr
I(D)=840⋅26+1500⋅6=30840kr

Den største verdien finner vi i hjørnepunktet D=(26,6).

Bedriften bør produsere og selge 26 enheter av vare A og 6 enheter av vare B, noe som gir en maksimal inntekt på I=30840kr.

Fra utregningen i b) ser vi at den minste av verdiene til I i hjørnepunktene er

I(C)=840⋅16+1500⋅4=13440+6000=19440kr

Siden I er lineær, vil minimumsverdien over hele det gjennomførbare området ligge i et av hjørnepunktene, og vi har regnet ut I i alle fire. Dermed er 19440kr den minste inntekten som er mulig innenfor de gitte begrensningene, uansett hvordan bedriften velger å produsere.

Vi har dermed vist at bedriften er sikret en minsteinntekt på 19440kr.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Korrekt løsning ved bruk av dynamisk geometriprogram eller andre digitale verktøy, med tilfredsstillende presentasjon, gir full uttelling. Jf. vurderingsveiledningen 2012.

Forstå oppgaven med en KI

Du får en ferdig tekst du limer inn i den KI-chatboten du bruker. Teksten inneholder oppgaven og en instruks om at chatboten skal hjelpe deg å tenke selv — stille spørsmål, gi ett hint av gangen og la deg gjøre regningen.

Anbefalt. Chatboten får beskjed om å bruke det til å veilede deg riktig vei — ikke til å røpe svaret. Du kan slå det av hvis du vil være helt sikker på at ingenting lekker.

Hva du bør vite
  • Ingenting sendes herfra. Teksten kopieres bare til utklippstavla på enheten din. Det du limer inn i en chatbot, går til den tjenesten — og de har sine egne regler for hva de lagrer.
  • Ikke lim inn personopplysninger — navn, skole eller noe annet om deg selv eller andre. Oppgaveteksten holder.
  • KI kan ta feil, også i matematikk. Sjekk alltid mot løsningsforslaget her på siden.
  • Er du usikker på om du har lov til å bruke KI på skolearbeidet ditt, spør læreren din først.

Tastatursnarveier

Navigasjon

⌘K / Ctrl+K
Åpne søk
G F
Gå til Fag
G E
Gå til Eksamener
G T
Gå til Temaer
G K
Gå til Kompetansemål
G H
Hjem
?
Vis snarveier

I oppgave

←/→ · J/K
Forrige / neste oppgave
0
Marker som ikke prøvd
1
Marker som prøvd
2
Marker som trenger hjelp
3
Marker som ferdig
S
Vis / skjul løsningsforslag
A
Legg til i liste
N
Skriv notat
Esc
Tilbake / avslutt