Lineær og eksponentiell modell for bilverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 2011 kjøpte Helene en bruktbil. Hun fant da tabellen nedenfor på Internett. Alle beløp er oppgitt i kroner.


Bilmerke	Volvo
Bilmodell	V50
Nybilpris i 2006	299 990
Antatt verdi i 2011	171 000
Verditap	128 900
Verditap årlig	25 780

Forklar at det årlige verditapet på bilen er beregnet ved hjelp av en lineær modell og bestem denne modellen.

Helene lurer på om det vil være mer realistisk å bruke en eksponentiell modell.

Bestem en eksponentiell modell som totalt gir samme verditap på bilen fra 2006 til 2011 som den lineære modellen.

Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den lineære modellen? Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den eksponentielle modellen?

Fasit

$\underline{\underline{f(x) = 299\,990 - 25\,780x}}$

$\underline{\underline{g(x) = 299\,990 \cdot 0{,}8937^x}}$

Lineær: $\underline{\underline{f(7) \approx 119\,530 \, \mathrm{kr}}}$ , eksponentiell: $\underline{\underline{g(7) \approx 136\,600 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 2006.

Det totale verditapet fra 2006 til 2011 (5 år) er oppgitt i tabellen som $128\,990 \, \mathrm{kr}$ . Deler vi dette likt på hvert år, får vi det årlige verditapet:

\frac{299\,990 - 171\,000}{5} = \frac{128\,990}{5} = 25\,798 \approx 25\,780 \, \text{kr/år}

At verditapet er det samme hvert år betyr at vi bruker en lineær modell — verdien avtar med et konstant beløp per år.

Den lineære modellen starter på nybilprisen i 2006 og trekker fra $25\,780 \, \mathrm{kr}$ for hvert år:

\textcolor{steelblue}{f(x) = 299\,990 - 25\,780x}

Bilen mister $25\,780 \, \mathrm{kr}$ i verdi hvert år ifølge den lineære modellen.

En eksponentiell modell har formen

\textcolor{seagreen}{g(x) = 299\,990 \cdot k^x}

der $k$ er vekstfaktoren per år. Vi vet at $g(5) = 171\,000$ :

299\,990 \cdot k^5 = 171\,000

k^5 = \frac{171\,000}{299\,990}

k = \left(\frac{171\,000}{299\,990}\right)^{\frac{1}{5}} \approx 0{,}8937

Den eksponentielle modellen blir:

\textcolor{seagreen}{g(x) = 299\,990 \cdot 0{,}8937^x}

En vekstfaktor på $0{,}8937$ svarer til et prosentvis verditap på

1 - 0{,}8937 = 0{,}1063 \approx 11 \,\%

Bilen mister cirka $11 \,\%$ av verdien sin hvert år ifølge den eksponentielle modellen.

2013 er 7 år etter 2006, så vi setter $x = 7$ i begge modellene.

GeoGebra — begge modellene plottet:

Lineær og eksponentiell modell for bilverdi

Blå kurve: lineær modell $f(x)$ . Grønn kurve: eksponentiell modell $g(x)$ .

Lineær modell:

\textcolor{steelblue}{f(7) = 299\,990 - 25\,780 \cdot 7 = 299\,990 - 180\,460 = 119\,530 \, \mathrm{kr}}

Eksponentiell modell:

\textcolor{seagreen}{g(7) = 299\,990 \cdot 0{,}8937^7 \approx 136\,600 \, \mathrm{kr}}

Ifølge den lineære modellen er bilen verd $\underline{\underline{119\,530 \, \mathrm{kr}}}$ i 2013.

Ifølge den eksponentielle modellen er bilen verd $\underline{\underline{136\,600 \, \mathrm{kr}}}$ i 2013.

Den eksponentielle modellen gir en høyere verdi fordi den tar mest verdi de første årene (da bilen er ny), og mindre og mindre verdi etter hvert — noe som er mer realistisk for biler.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor

Lineær og eksponentiell modell for bilverdi

Sync på tvers av enheter

Lineær og eksponentiell modell for bilverdi

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave