Vi skal finne

Vi standardiserer med $Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}$.

1. $z={\displaystyle \frac{8-10}{2}}=-1$, og fra normalfordelingstabellen (eller GeoGebra) er

2. $z_1={\displaystyle \frac{8-10}{2}}=-1$ og $z_2={\displaystyle \frac{11-10}{2}}=\mathrm{0,5}$, som gir

Se skjermbildet under (linje 1 og 2), der GeoGebra CAS bekrefter begge sannsynlighetene med kommandoene FordelingNormal(10, 2, 8) og FordelingNormal(10, 2, 11) - FordelingNormal(10, 2, 8).

Firmaet ønsker at høyst $3\%$ av motorene skal bli defekte før garantitiden $t$ er ute, altså at

Dette betyr at $t$ er den $3$-prosentilen i normalfordelingen med $\mu =10$ og $\sigma =2$. Fra GeoGebra CAS (linje 3, InversNormalfordeling(10, 2, 0.03)) får vi

Firmaet bør altså tilby en garantitid på omtrent $\underline{\underline{\mathrm{6,2}\text{år}}}$ (eventuelt avrundet ned til $6$ år, siden en litt kortere garantitid gir en enda lavere andel defekte enn $3\%$).

Firmaet er usikre på om forventet levetid fortsatt er $10$ år, eller om den kan ha blitt kortere. Vi setter derfor opp en ensidig test:

Vi tester på signifikansnivå $\alpha =\mathrm{0,05}$. Utvalget på $n=10$ motorer har gjennomsnitt

(se linje 4 i skjermbildet). Under $H_0$ er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med $\text{E}(\bar{X})=10$ og $\text{SD}(\bar{X})={\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{10}}}$. Vi standardiserer:

Dette bekreftes i linje 5 i skjermbildet. Ved signifikansnivå $5\%$ og ensidig test (venstre hale) er den kritiske grensen (linje 6)

Siden $Z\approx -\mathrm{1,581}>-\mathrm{1,645}$, ligger ikke testobservatoren i forkastningsområdet.

Konklusjon: Firmaet kan ikke forkaste $H_0$ på $5\%$-nivå. Utvalgsresultatet er ikke sterkt nok til å konkludere med at forventet levetid er kortere enn $10$ år, selv om gjennomsnittet i utvalget ligger under $10$.