Finn formel for antall fyrstikker i figur $n$

Figur $n$ er et $n \times n$-rutenett av små kvadrater.

Vi ser på radene og kolonnene med fyrstikker:

• Horisontale fyrstikker: Det er $n+1$ rader med $n$ fyrstikker i hver, altså $n(n+1)$ horisontale fyrstikker.
• Vertikale fyrstikker: Det er tilsvarende $n+1$ kolonner med $n$ fyrstikker i hver, altså $n(n+1)$ vertikale fyrstikker.

Totalt i figur $n$:

$$m(n) = 2 \cdot n(n+1)$$

Vi sjekker mot bildet:

• Figur 1: $m(1) = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ fyrstikker ✓
• Figur 2: $m(2) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ fyrstikker ✓
• Figur 3: $m(3) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ fyrstikker ✓

Finn totalt antall fyrstikker for figur 1 til $k$

Vi lager figurene én av hver størrelse. Totalt brukte fyrstikker når vi har laget figur 1, 2, 3, …, $k$:

$$S(k) = \sum_{n=1}^{k} 2n(n+1)$$

Vi regner ut $S(k)$ for stigende verdier av $k$ til vi overskrider 10 000:

$k$	$m(k) = 2k(k+1)$	$S(k)$
20	$2 \cdot 20 \cdot 21 = 840$	$6\,160$
21	$2 \cdot 21 \cdot 22 = 924$	$7\,084$
22	$2 \cdot 22 \cdot 23 = 1\,012$	$8\,096$
23	$2 \cdot 23 \cdot 24 = 1\,104$	$9\,200$
24	$2 \cdot 24 \cdot 25 = 1\,200$	$10\,400$

$S(23) = 9\,200 \leq 10\,000$ og $S(24) = 10\,400 > 10\,000$.

a)

Vi kan lage figur 1, 2, 3, …, 23 — det er $\underline{\underline{23 \text{ figurer}}}$.

b)

Etter å ha laget 23 figurer har vi brukt $9\,200$ fyrstikker.

$$10\,000 - 9\,200 = \underline{\underline{800 \text{ fyrstikker igjen}}}$$