Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kvartsirkel med radius 3 og kvadratet OABC der A er på x-aksen, B på kvartsirkelen og C på y-aksen

På skissen ovenfor er det tegnet en kvartsirkel med radius $3$ . $□ O A B C$ er et kvadrat der $A$ ligger på $x$ -aksen, $B$ på kvartsirkelen og $C$ på $y$ -aksen.

For hånd

Bestem lengden til diagonalen $A C$ .

For hånd

Bestem arealet av det skraverte området.

Fasit

$A C = 3$

$Skravert areal \approx 2,57$

LøsningsforslagKI-generert

Kvartsirkelen har sentrum i $O$ og radius $3$ . Siden $B$ ligger på kvartsirkelen, er $O B = 3$ .

$O A B C$ er et kvadrat, og $O B$ og $A C$ er de to diagonalene i kvadratet. I et kvadrat er begge diagonalene like lange, så

A C = O B = 3

$A C = 3$

La $s$ være sidelengden i kvadratet $O A B C$ . Da er $A = (s, 0)$ , $C = (0, s)$ og $B = (s, s)$ .

Siden $B$ ligger på kvartsirkelen $x^{2} + y^{2} = 3^{2}$ , får vi

s^{2} + s^{2} = 3^{2} \Rightarrow s^{2} = \frac{9}{2}

Arealet av kvadratet er dermed $s^{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ .

Arealet av kvartsirkelen er

A_{kvartsirkel} = \frac{1}{4} π \cdot 3^{2} = \frac{9}{4} π \approx 7,0686

Det skraverte området er det som er igjen av kvartsirkelen når kvadratet er trukket fra:

A_{skravert} = A_{kvartsirkel} - s^{2} = \frac{9}{4} π - \frac{9}{2} \approx 7,0686 - 4,5 \approx 2,5686

Beregningen er kontrollert i GeoGebra CAS:

Løsning i GeoGebra CAS

$A_{skravert} \approx 2,57$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En fullgod løsning kan være ved regning eller ved bruk av dynamisk programvare.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2012, del 2, oppgave 10
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Areal og omkrets, Geometri

Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer