Kuleflate tangentplan og normalt plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ligningen til en kuleflate er gitt ved

x^{2} - 2 x + y^{2} + 2 y + z^{2} - 6 z = 14

Vis at punktet $A (4, 3, 3)$ ligger på kuleflaten.

Vis at kulen har sentrum i $S (1, - 1, 3)$ . Bestem radien til kulen.

Bestem ligningen for tangentplanet $α$ til kuleflaten i punktet $A$ .

Et annet plan $β$ går gjennom $S$ og $B (1, 0, 1)$ og står normalt på $α$ .

Bestem ligningen til $β$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$S (1, - 1, 3), r = 5$

$α : 3 x + 4 y - 24 = 0$

$β : - 8 x + 6 y + 3 z + 5 = 0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn koordinatene til $A (4, 3, 3)$ i likningen for kuleflaten:

4^{2} - 2 \cdot 4 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 3^{2} - 6 \cdot 3 = 16 - 8 + 9 + 6 + 9 - 18 = 14

Siden venstre side blir $14$ , som er lik høyre side i likningen, ligger $A$ på kuleflaten.

Vi fullfører kvadratene i likningen $x^{2} - 2 x + y^{2} + 2 y + z^{2} - 6 z = 14$ :

x^{2} - 2 x = {(x - 1)}^{2} - 1

y^{2} + 2 y = {(y + 1)}^{2} - 1

z^{2} - 6 z = {(z - 3)}^{2} - 9

Setter dette inn i likningen:

{(x - 1)}^{2} - 1 + {(y + 1)}^{2} - 1 + {(z - 3)}^{2} - 9 = 14

{(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25

Dette er likningen for en kuleflate med sentrum $S (1, - 1, 3)$ og radius

r = \sqrt{25} = 5

Tangentplanet $α$ i punktet $A$ står normalt på radiusvektoren $\vec{S A}$ . Denne vektoren er derfor normalvektor til planet:

\vec{S A} = A - S = (4 - 1, 3 - (- 1), 3 - 3) = (3, 4, 0)

Likningen for planet gjennom $A (4, 3, 3)$ med normalvektor $(3,4,0)$ er

3 (x - 4) + 4 (y - 3) + 0 \cdot (z - 3) = 0

3 x - 12 + 4 y - 12 = 0

α : 3 x + 4 y - 24 = 0

Planet $β$ går gjennom $S$ og $B$ , og står normalt på $α$ . Dette gir oss to vektorer som ligger i $β$ : vektoren $\vec{S B}$ (siden $S$ og $B$ begge ligger i $β$ ), og normalvektoren til $α$ , $\vec{n_{α}} = (3,4,0)$ (siden $β ⟂ α$ ).

\vec{S B} = B - S = (1 - 1, 0 - (- 1), 1 - 3) = (0, 1, - 2)

Normalvektoren til $β$ finner vi som kryssproduktet av disse to vektorene:

\vec{n_{β}} = \vec{n_{α}} \times \vec{S B} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 \end{matrix} |

\vec{n_{β}} = (4 \cdot (- 2) - 0 \cdot 1, - (3 \cdot (- 2) - 0 \cdot 0), 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) = (- 8, 6, 3)

Likningen for planet gjennom $S (1, - 1, 3)$ med normalvektor $(- 8, 6, 3)$ blir

- 8 (x - 1) + 6 (y + 1) + 3 (z - 3) = 0

- 8 x + 8 + 6 y + 6 + 3 z - 9 = 0

β : - 8 x + 6 y + 3 z + 5 = 0

Vi kan kontrollere at $B (1,0,1)$ ligger i planet: $- 8 \cdot 1 + 6 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 5 = - 8 + 3 + 5 = 0$ . Stemmer.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2016, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Kule, Plan, Romgeometri, Vektorer

Kuleflate tangentplan og normalt plan

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kuleflate tangentplan og normalt plan

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kuleflate tangentplan og normalt plan

Kuleflate tangentplan og normalt plan

Lov på eksamen

Temaer